Урок 31. Окружности

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. Точка D лежит вне окружности. Из нее проведены к окружности касательная DB и секущая DCA (здесь указан порядок, в котором идут точки пересечения с окружностью). Известно, что угол BAC равен 30^о, AC = 2, CD = 4. Найдите площадь треугольника BCD.
2. Окружность касается прямых AB и BC в точках D и E соответственно. При этом точка А лежит между точками B и D, а C - между точками B и E. Известно, что AB = 13, AC = 1 и точки A, D, E, C лежат на одной окружности. Найдите площадь треугольника ABC.
3. [3] В полукруг помещены две окружности диаметров d и D, где d < D. Обе окружности касаются друг друга, касаются дуги и диаметра полукруга. Через их центры проведена прямая, пересекающая продолжение диаметра в точке М. Пусть MN - касательная к дуге полукруга (N - точка касания). Найдите длину отрезка MN.
4. Продолжение медианы треугольника ABC, проведенной из А, пересекает описанную около него окружность в точке D. Известно, что AC = DC = 1. Найдите длину BC.
5. Дан квадрат со стороной 1. Пусть А - одна из его вершин, О - центр квадрата и М - середина отрезка АО. С центром М радиусом 5/16 проведена окружность. Найдите площадь части квадрата, лежащей вне окружности.
6. В треугольнике ABC каждая из сторон AB и BC равна 1. Точка Н есть середина стороны AC и BH равно 3/4. Радиус круга равен 4/5, его центр находится в точке B. Найдите площадь общей части круга и треугольника ABC.
7. В треугольнике ABC имеем AB = BC, r/R = k, где r и R есть соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей. Считая число k известным, найдите углы треугольника.
8. Известно, что AOB есть сектор круга радиуса r. Угол AOB равен $\alpha < \pi$. Найдите радиус окружности, лежащей внутри этого сектора и касающейся хорды АВ, дуги АВ и биссектрисы угла АОВ.
9. [2] Вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность и на дуге ВС взята произвольная точка М. Докажите, что AM = BM + CM.
10. Дан ромб со стороной $a$  и острым углом $\alpha$. Найдите радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны или ее продолжения.
11. В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные равные хорды MN и PQ. Известно, что NQ = a. Найдите MP.
12. В треугольнике ABC угол В прямой, ВЕ - биссектриса угла В (точке Е лежит на стороне АС). Известно, что BO:OE = $\sqrt{3}/\sqrt{2}$, где О - центр вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите углы треугольника ABC.
13. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке D и сторону BC в точке Е. Известно, что AD = 5, AC = $2\sqrt{7}$, BE = 4, BD:CE=3:2. Найдите угол CDB.
14. Площадь треугольника ABC равна $2\sqrt{3}-3$, угол BAC равен 60^о. Радиус окружности, касающийся стороны ВС и продолжений сторон AB и AC равен 1. Найдите углы ABC и ACB этого треугольника.
15. Центр О окружности лежит на стороне АВ треугольника AMB, причем окружность касается сторон AM и MB. Известно, что AO = 6, OB = 4, OM = 12. Найдите радиус окружности.
16. В окружности радиуса $\sqrt{6}$ проведены хорда MN и диаметр MP. В точке N проведена касательная к окружности, которая пересекает продолжение отрезка MP в точке Q под углом 60^о. Найдите медиану QD треугольника MQN.
17. Дан треугольник ABC с AB = BC, угол BAC равен 30^о. Построен круг радиуса $2/\sqrt{3}$ с центром в точке В. Длина медианы к боковой стороне равна $\sqrt{7}$. Найдите отношение площади общей части треугольника и круга к площади треугольника.
18. В треугольнике ABC периметр равен 2p. Известно, что длина стороны AC равна а, угол ABC равен $\alpha$ < 90^o. Вписанная в треугольник ABC окружность имеет центр О и касается стороны ВС в точке К. Найдите площадь треугольника ВОК.
19. [3] Некоторая прямая, параллельная основаниям прямоугольной трапеции, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны c и d, с < d. Найдите ее основания.
20. В равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно 1, вписана окружность радиуса 1. Найдите площадь трапеции.
21. Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция, у которой одно основание вдвое больше другого. Найдите среднюю линию трапеции.
22. В окружность радиуса 1 вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше, чем каждая из остальных сторон. Найдите площадь трапеции.
23. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями BC = 1, AD = 3 можно вписать и вокруг нее можно описать окружность. Где находится центр описанной окружности (внутри трапеции, извне ее или на ее стороне)? Тот же вопрос, если BC = 2, AD = 10.
24. Периметр равнобедренной трапеции, описанной около круга, равен P. Найдите радиус этого круга, если острый угол при основании равен $\alpha$.

Ответы к домашнему заданию урока 31 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $3\sqrt{3}\pm\sqrt{15}$
2. $15\sqrt{3}/4$
3. dD/(D-d)
4. $\sqrt{2}$
5. $29/32-25\pi/256+25\arccos (7/25)/256$
6. $3\sqrt{31}/80+16(\arccos (3/4)-\arccos (15/16))/25$
7. $\arccos ((1\pm\sqrt{1-2k})/2), \arccos ((1\pm\sqrt{1-2k})/2), \pi - 2\arccos ((1\pm\sqrt{1-2k})/2)$
8. $4r\cos (\alpha/4)\sin^2 (\alpha/8)$
10. $a(4\sin^2 \alpha+1)/(8\sin\alpha)$
11. $\sqrt{4R^2-a^2}$
12. 15^o, 75^o
13. $\arcsin (\sqrt{7/8})$
14. 30^o, 90^o
15. $6\sqrt{3/7}$
16. $\sqrt{(10+5\sqrt{3})/2}$
17. $2\pi/(9\sqrt{3})+1/3$
18. $(p-a)^2tg (\alpha/2)/2$
19. $(d+\sqrt{d^2-c^2})/2, (d-\sqrt{d^2-c^2})/2$
20. 5
21. $3/\sqrt{2}$
22. $3\sqrt{3}/4$
23. внутри; вне
24. $(P\sin\alpha) /8$