В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 32

Урок 32. Многоугольники

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равна \pi/2. Известно, что AD = 2, расстояние от точки пересечения биссектрис в треугольнике ABD до точки пересечения биссектрис в треугольнике ACD равно \sqrt{2}. Найдите длину стороны BC.
  2. Известно, что в выпуклом четырехугольнике ABCD угол ACD равен 60о, AD = 7, BC = 3. Точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Перпендикуляр из точки А на прямую CD делит угол BAD пополам. Найдите длину диагонали AC.
  3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекает продолжение стороны DC за точку C в точке E. Известно, что AB = 2, BD = 2\sqrt{6}, CD = 5, BE:EC=4:3. Найдите угол BAD.
  4. В выпуклом четырехугольнике NPQM сторона NP равна b. Точка А лежит на стороне PQ, а точка B - на стороне NM. Отрезок AB разбивает четырехугольник NPQM на два четырехугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Известно, что разность периметров четырехугольников BAQM и ABNP равна 2p. Найдите сторону MQ.
  5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников BOC, COD и AOD равны соответственно 20, 40 и 60. Кроме того, AO = 8, AB = 15, угол BOA больше 31о. Найдите угол BAO.
  6. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Площади треугольников ABE и DCE равны 1, а площадь четырехугольника ABCD не превосходит 4. Найдите BC, если AD = 3.
  7. В выпуклом четырехугольнике ABCD имеем AB = 3, BD = \sqrt{7}, причем угол BCD равен 120о. Кроме того,. площадь четырехугольника ABCD равна (AB\cdotCD+BC\cdotAD)/2. Найдите длину стороны AD.
  8. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник ABCD, для которого AB = BC,  SABD=2SBCD, угол ADC равен 120о. Найдите все стороны четырехугольника ABCD.
  9. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке M, AM = 2MD. Перпендикуляр, опущенный из вершины А на прямую BC, делит отрезок BC пополам. Найдите все стороны и площадь четырехугольника ABCD, если его периметр равен 5+\sqrt{3}, угол BAD прямой и угол ABC равен 60о.
  10. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Из точки К, лежащей на продолжении AF (KA<KF), KA = \sqrt{11}-1, проведена секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H. Ее внешняя часть KN равна 2, и угол NFH тупой. Найдите угол HKF.
  11. Выразите сторону правильного десятиугольника через радиус описанной окружности.
  12. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность их периметров равна а.
  13. В круг радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что углы BAF, BCD, DEF равны, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника.
  14. Найдите площадь пятиугольника, ограниченного прямыми BC, CD, AN и MA, где A, B, D - три вершины квадрата ABCD со стороной а, N - середина BC, точка M лежит на стороне CD, причем CM:MD=2:1.
  15. Правильный шестиугольник ABCDEK вписан в окружность радиуса R. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.
  16. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем BD параллельно AE, угол CAE в два раза больше угла CEA, угол CBD на a градусов превосходит угол CDB. Для треугольника ACE найдите отношение радиуса вписанной окружности к периметру.
  17. Семиугольник A1A2A3A4A5A6A7 вписан в окружность, центр которой лежит внутри него. Докажите, что сумму углов A1, A3, A5 меньше 450о.
  18. В правильном шестиугольнике со стороной 5 на одной из сторон взята точка А на расстоянии 1 от ближайшей вершины шестиугольника. Найдите расстояние от точки А до центра шестиугольника.
  19. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точки А1, B1, C1, D1, E1, F1 лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DE, EF, FA. Сторона шестиугольника равна а, причем AA1=A1B, B1C=2BB1, C1D=3CC1, D1E=4DD1, E1F=5EE1, F1A=6FF1. Найдите площадь шестиугольника A1B1C1D1E1F1.
  20. [3] Прямая проходит через центр правильного n-угольника. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой (проходящей через центр) и найдите эту сумму.

Ответы к домашнему заданию урока 32 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. \sqrt{3}
  2. 4
  3. \pi-\arccos(1/4)
  4. p+b
  5. 30o
  6. 3
  7. 1 или 2
  8. AB = BC = 7\sqrt{3}, CD = \sqrt{21}, AD = 2\sqrt{21}
  9. AB = BC = 2, CD = 1, AD = \sqrt{3}S_{ABCD}=3\sqrt{3}/2
  10. \arccos\sqrt{11/14}-\arccos\sqrt{7/(2\sqrt{14})}
  11. 2R\cos (2\pi/5)=(\sqrt{5}-1)/2
  12. (2\sqrt{3}+3)a/6
  13. \sqrt{3}(a\sqrt{12R^2-3a^2}+b\sqrt{12R^2-b^2} +c\sqrt{12R^2-c^2}+6R^2-a^2-b^2-c^2)/8
  14. 3a^2/8
  15. R(\sqrt{3}-1)/2
  16. 1/(2(\sin a+\sin 2x+\sin 3x))
  17. \sqrt{21}
  18. 189\sqrt{3}a^2/140
  19. nR^2/2

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *