Урок 16. [3] Оптимальный выбор и целые числа

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. На 100 рублей решено купить елочных игрушек. Они продаются наборами. Набор из 20 игрушек стоит 4 рубля, набор из 35 игрушек стоит 6 рублей и набор из 50 игрушек стоит 9 рублей. Сколько и каких наборов нужно купить, чтобы было куплено наибольшее число игрушек?
2. На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить не более 1 руб. 40 коп. Тетрадь в клетку стоит 3 коп., тетрадь в линейку - 2 коп. При закупке число тетрадей в клетку не должно отличаться от числа тетрадей в линейку более, чем на 9. Необходимо закупить максимально возможное суммарное количество тетрадей, причем из всех вариантов, дающих это максимально возможное количество, надо найти такой, при котором число тетрадей в линейку минимально. Сколько тетрадей в клетку и сколько в линейку можно закупить при указанных условиях?
3. С завода на стройку нужно перевезти 24 больших и 510 маленьких бетонных блоков. Доставка блоков осуществляется автомашинами, каждая из которых вмещает в себя 44 маленьких блока и имеет грузоподъемность 10 тонн. Вес маленького блока - 0,2 тонны, большой блок весит 3,6 тонны и занимает место 14 маленьких. Найдите минимальное число рейсов, достаточное для перевозки всех блоков.
4. Ученики второго, третьего и четвертого классов собирали макулатуру. Второклассники работали каждый по три дня, третьеклассники - по 12 дней, четвероклассники - по 16 дней. При этом каждый второклассник собрал  по 30 кг, каждый третьеклассник - по 130 кг, каждый четвероклассник - по 170 кг. Все дети вместе отработали 95 дней. Сколько учеников каждого класса участвовало в работе, если общее количество собранной макулатуры оказалось максимальным?
5. В группе каждый из учащихся знает хотя бы один иностранный язык (английский, французский или немецкий) и нет ни одного учащегося, который бы знал все три указанных языка. Тринадцать учащихся знают лишь по одному иностранному языку. Никто из группы не знает одновременно французский и немецкий, но половина учащихся, владеющих английским, знает еще один иностранный язык. Девушек, знающих только английский,  в два раза больше, чем учащихся, знающих только немецкий, и в четыре раза больше, чем учащихся, знающих только французский. Определите, сколько учащихся в группе, если юношей, знающих только английский, в n раз больше, чем учащихся, знающих только французский, причем $3\leq n\leq 15$ (n - целое число).
6. Из строительных деталей двух видов можно собрать три типа домов. Для сборки 12-квартирного дома необходимо 70 деталей первого и 100 деталей второго вида. Для 16-квартирного дома требуется 110 и 150,  а для дома на 21 квартиру нужно 150 и 200 деталей первого и второго видов соответственно. Всего имеется 900 деталей первого и 1300 деталей второго вида. Сколько и каких домов нужно собрать, чтобы общее количество квартир в них было наибольшим?
7. Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов. За книги заплатили 10 р 56 коп, за альбомы - 56 коп. Книг купили на 6 шт больше, чем альбомов. Сколько купили книг, если цена одной книги больше чем на 1 руб превосходит цену одного альбома?
8. Школьник переклеивает все свои марки в новый альбом. Если он наклеит по 20 марок на 1 лист, то ему не хватит альбома, а если по 23 марки на лист, то по крайней мере один лист останется пустым. Если школьнику подарить такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него станет 500 марок. Сколько листов в альбоме?
9. Автоматы двух типов красили детали, и все детали были покрашены за час. Определите число автоматов, если известно, что каждый из них мог бы покрасить все детали за целое число часов, общая сумма которых (для всех автоматов) равна 55.
10. В двух бригадах вместе работает более 27 человек. Число членов первой бригады более чем в два раза превосходит число членов второй бригады, уменьшенное на 12. Число членов второй бригады более чем в 9 раз превышает число членов первой бригады, уменьшенное на 10. Сколько человек в каждой бригаде?
11. В первой коробке находилось некоторое количество красных шаров, а во второй - синих, причем число красных шаров составляло 15/19 от числа синих. Когда из коробок удалили 3/7 красных шаров и 2/5 синих, в первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй - более 1000 шаров. Сколько шаров первоначально было в каждой коробке?
12. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
13. В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полугодии успеваемость, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Определите минимально возможное число учеников в таком классе.
14. Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого экскаватора стоит 60 руб в день, производительность его в мягком грунте составляет 250 м³ в день, в твердом грунте - 150 м³ в день. Аренда второго экскаватора стоит 50 руб в день, его производительность в мягком грунте - 480 м³ в день, а в твердом - 100 м³ в день. Первый работал несколько полных дней и вырыл 720 м³. Второй за несколько полных дней вырыл 330 м³. Сколько дней работал каждый экскаватор, если колхоз заплатил за аренду не более 300 рублей?
15. Вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторой суммы положили в первый банк, а оставшуюся часть - во второй. К концу года сумма этих вкладов стала равна 670 долларов, в концу следующего года - 749 долларов. Если бы первоначально 5/6 исходной суммы положили во второй банк, а оставшуюся часть - в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 710 долларам. Определите величину вклада через два года, если все деньги положены в первый банк.

Ответы к домашнему заданию урока 16 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. 1 первый набор и 16 вторых
2. 26 тетрадей в клетку и 31 в линейку
3. 20 рейсов
4. 1 второклассник. 5 третьеклассников, 2 четвероклассника
5. 23 учащихся
6. 11 двенадцатиквартирных и 1 шестнадцатиквартирный
7. 8 книг
8. 12 листов
9. 7 автоматов
10. 11 человек и 17 человек
11. 1575 шаров в первой коробке. 1995 шаров во второй
12. 5 прессов
13. 33 ученика
14. 1-й работал 3 дня, 2-й - 2 дня
15. 726 долларов