В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 45

Урок 45[2]. Стереометрия. Тетраэдры

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. В тетраэдре SABC плоские углы при вершине S острые и угол BSC равен \alpha, угол ASC равен \beta и угол ASB равен \gamma. Известно, что SA = a и SB = b. Найдите площадь проекции треугольника ASB на плоскость ASC.
  2. В тетраэдре SABC имеем SA = SC, SB = 2AC и AB = BC = 3AC/2. Через ребро AC и середину D ребра SB проведена плоскость. Площадь полной поверхности пирамиды SADC больше площади полной поверхности ABCD на величину, равную площади треугольника ABC. Найдите угол между плоскостями ASC и ABC.
  3. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Известно, что высота пирамиды проходит через середину D катета BC, причем SD = h, AC = b и BC = a. Через середины сторон AC и BC проведено сечение плоскостью, параллельной SC. Найдите площадь этого сечения и угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.
  4. Все ребра тетраэдра ABCD имеют равную длину. На ребрах AB, AC и AD выбраны соответственно точки K, L и M так, что длина отрезка KB равна 12 и MD равно 8. Радиус шара, описанного около ABCD, равен 6\sqrt{6}, а объем пирамиды AKLM равен 192\sqrt{2}. Найдите сумму радиусов описанного и вписанного шаров для пирамиды AKLM.
  5. Дан тетраэдр ABCD. Точки F и N лежат на ребрах AD и DB соответственно, причем DN : NB = 1 : 2. Через точки F и N и точку пересечения медиан треугольника ABC проведена плоскость, пересекающая ребро CB в точке H. Через точку Н проведена плоскость, параллельная плоскости ADB и пересекающая ребра CA и CD в точках L и K соответственно. Известно, что \frac{CH}{HB}=(\frac{AF}{FD})^2 и что радиус шара, вписанного в пирамиду CHLK равен R. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади полной поверхности пирамиды ABCD, если высота, опущенная из D на плоскость ABC, равна h.
  6. В тетраэдре SABC длины всех ребер, пересекающихся с ребром BC, равны между собой и в два раза больше длины этого ребра, равной b. Высота пирамиды SABC, опущенной из вершины S, лежит внутри пирамиды и квадрат ее длины в 4,5 раза больше BC2. Точка М делит пополам высоту грани SBC, проведенную из точки S к ребру BC. Через точки А и М проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 30о. Какова площадь полной поверхности части пирамиды, отсекаемой этой плоскостью и содержащей вершину S, и сколько таких плоскостей можно построить?
  7. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ABC такой, что угол BAC равен \pi/4, AC = AB = 1+\sqrt{2}. Основание Н высоты SH пирамиды расположено так, что CH перпендикулярно AB и  BH параллельно AC. Найдите радиус описанного около SABC шара, если SH = \sqrt{5+2\sqrt{2}}.
  8. На боковом ребре SA правильной треугольной пирамиды SABC с вершиной S взята точка D, через которую проведено сечение пирамиды, пересекающее апофемы граней SAC и SAB в точках M и N. Известно, что DM и DN образуют углы \beta с плоскостью ABC, а угол DMS и угол DNS равны \alpha < \pi/2. Найдите угол MDN.
  9. Отрезок DE, лежащий в двугранном угле DA с точками B и C на его гранях, параллелен плоскости ABC, причем площадь треугольника ABC равна S. В тетраэдр BCDE вписан шар, k - отношение расстояния от центра шара до прямой DE к расстоянию от DE до плоскости ABC. Пусть B1 - проекция точки B на плоскость CDE и известно, что \frac{tg\angle B_1DE}{tg\angle BDE}=p. Через середину отрезка AD проведена плоскость P, параллельная плоскости ABC. Найдите площадь сечения многогранника ABCDE, составленного из тетраэдров ABCD и BCDE плоскостью Р, если площадь полной поверхности тетраэдра BCDE равна \sigma.
  10. Дана пирамида SABC, в которой площадь треугольника ABS равна \frac{3\sqrt{7}}{4}, угол BSC равен arctg\frac{\sqrt{231}}{37}. Известно кроме того, что AS = SB, SC\cdot AC = 20 и перпендикуляры к граням, восстановленные из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке. Найдите объем пирамиды SABC.
  11. В тетраэдре длины двух непересекающихся ребер равны 12 и 4, а остальные ребра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найдите расстояние от центра сферы до ребра длины 12.
  12. В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объем пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании прямой.
  13. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна 4\sqrt{2}. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найдите величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.
  14. Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Вычислите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от нее до вершины А равно 1.
  15. В пирамиде SABC прямая, пересекающая ребра AC и BS и перпендикулярная им, проходит через середину ребра BS. Грань ASB равновелика грани BSC, а площадь грани ASC в два раза больше площади грани BSC. Внутри пирамиды есть точка M, сумма расстояний от которой до вершин B и S равна сумме расстояний до всех граней пирамиды. Найдите расстояние от точки М до вершины В, если АС = \sqrt{6}, а BS  = 1.
  16. В пирамиде SABC суммы длин ребер, выходящих из каждой вершины, равны одному и тому же числу. Величина тупого угла между ребрами SB и AC равна arccos(-\frac{1}{3}), радиус вписанной в пирамиду сферы равен \sqrt{3/13} и SA2+SC2=12. Найдите объем пирамиды SABC, если известно, что он не превосходит 5/3.
  17. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a. Площадь ее сечения, имеющего форму квадрата, равна m2. Найдите отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания.
  18. Треугольная пирамида ABCD, все ребра которой равны a, вложена в прямой круговой конус так, что вершина А лежит на окружности основания конуса. ребро AD лежит в плоскости основания конуса. ребро ВС параллельно основанию конуса, а вершины В и С лежат на боковой поверхности конуса. Угол между высотой конуса и его образующей равен \alpha <\pi/6. Определите высоту конуса.
  19. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S и объемом V проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает боковое ребро SA в точке K, а боковое ребро SB в точке L, причем SK = SA/2 и SL = SB/2. Найдите объем части пирамиды, лежащей ниже этой плоскости.
  20. В основании пирамиды  SABC лежит правильный треугольник ABC со стороной 2\sqrt{3}, и SA = SB = SC = \sqrt{7}. В трехгранный угол при вершине С вписана сфера S1. Сфера S2, радиус которой втрое больше, чем у сферы S1, касается сферы S1, плоскостей SAC и ABC. При этом отрезок прямой SB, заключенный внутри сферы S2,  имеет длину 6/\sqrt{7}. Найдите радиус сферы S2.

Ответы к домашнему заданию урока 45 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. \frac{ab(\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma )}{2\sin\beta}
  2. arccos(3/4)
  3. S=\frac{1}{8}\sqrt{4h^2(a^2+b^2)+a^2b^2}, \arccos\frac{ab}{16S}
  4. 6\sqrt{2}+\frac{48\sqrt{2}}{11\sqrt{3}+\sqrt{43}}
  5. \frac{17-\sqrt{17}}{8}\cdot\frac{R}{h}
  6. \frac{(3+2\sqrt{57}+\sqrt{3})b^2}{4\sqrt{2}}, такая плоскость единственна
  7. \sqrt{2}+1/2
  8. 2\arcsin (\frac{\sin\alpha+\sqrt{3(\cos^2\alpha-\sin^2\beta)}}{2})
  9. \frac{1}{4}(S+\sigma k\sqrt{2-2p})
  10. \sqrt{87}/2
  11. \frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}
  12. 2\sqrt{3}/27
  13. \pi/4, 2/\sqrt{3}
  14. 3
  15. \sqrt{10}/6
  16. 2\sqrt{6}/3
  17. \frac{\sqrt{9m^2-3a^2+6am}}{a-m}
  18. \frac{a\cdot ctg(2\alpha)}{1-\sqrt{2}tg\alpha}
  19. 23V/24
  20. 1/\sqrt{3}; 19/(25\sqrt{3})