В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 46

Урок 46[2]. Стереометрия. Параллелепипеды и призмы

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. Через одну из сторон основания правильной трехгранной призмы проведена плоскость под углом \alpha к основанию, отсекающая от призмы пирамиду  объема V. Определите площадь сечения.
  2. Дана прямая призма, у которой основанием служит правильный треугольник. Через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость. Угол между этой плоскостью и основанием призмы равен \alpha, а площадь сечения равна S. Определите объем призмы.
  3. Через середину диагонали куба перпендикулярно к ней проведена плоскость. Определите площадь фигуры, получившейся в сечении куба этой плоскостью, если ребро куба равно a.
  4. Дан куб ABCDA1B1C1D1, где AA1, BB1, CC1 и DD1 - боковые ребра. В каком отношении делит ребро B1C1 точка Е, которая принадлежит плоскости, проходящей через вершину А и центры граней A1B1C1D1 и B1C1CB?
  5. Ребро куба равно a. Найдите объем прямого кругового цилиндра, вписанного в куб так, что осью его является диагональ d куба, а окружности оснований касаются тех диагоналей граней куба, которые не имеют общих точек с диагональю d.
  6. Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1 (AA1, BB1 и CC1 - боковые ребра), у которой AC = 6 и AA1 = 8. Через вершину А проведена плоскость, пересекающая ребра BB1 и CC1 соответственно в точках M и N. Найдите, в каком отношении делит эта плоскость объем призмы, если известно, что BM = MB1, а AN является биссектрисой угла CAC1.
  7. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с боковыми ребрами AA1, BB1, CC1 и DD1. На продолжениях ребер AB и BB1 взяты точки M и N соответственно так, что AM = B1N = AB/2 (BM = BN = 3AB/2).Где на ребре CC1 должна находиться точка P для того, чтобы в сечении куба плоскостью, проведенной через точки M, N и P, был пятиугольник?
  8. Найдите тень куба на плоскость, перпендикулярную к его диагонали, от пучка лучей, параллельных этой диагонали.
  9. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы \alpha и \beta. Найдите объем призмы, если боковое ребро равно с.
  10. В правильной треугольной призме плоскость, проведенная через центр основания и центры симметрий двух боковых граней, составляет с плоскостью основания острый угол \alpha. Найдите площадь сечения, образованного этой плоскостью, если сторона основания равна a.
  11. Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса r, служит прямоугольный треугольник с острым углом \alpha.  Найдите объем призмы.
  12. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция, диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторонам. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий ее боковой стороне, равен \alpha. Отрезок прямой, соединяющий вершину верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен p и образует с плоскостью основания угол \beta. Найдите объем призмы.
  13. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 (AA1 параллельно BB1) через середины двух смежных сторон основания DC и AD и вершину B1 верхнего основания проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания.
  14. В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым углом \alpha. Диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы \beta и \gamma (\beta < \gamma). Найдите объем призмы, если ее высота равна Н.
  15. Через концы трех ребер, выходящих из вершин, B, D, A1 и C1 куба ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а, проведены плоскости. Докажите, что полученная фигура есть правильный тетраэдр, и найдите его объем.
  16. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Некоторое плоское сечение этой призмы отсекает от боковых ребер, проходящих через вершины большего и среднего углов основания, отрезки, равные по 12 каждый, а от ребра, проходящего через вершину меньшего угла основания, - отрезок длиной 18. Найдите объем и площадь полной поверхности фигуры, ограниченной плоскостью основания призмы, плоскостями боковых граней и плоскостью сечения.
  17. Два куба с ребром, равным a, имеют общий отрезок, соединяющий центры двух противоположных граней, но один куб повернут на 45о по отношению к другому. Найдите объем общей части этих кубов.
  18. Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна Q. Найдите полную поверхность куба.
  19. В основании призмы лежит трапеция. Площади параллельных боковых граней равны S1 и S2, а расстояние между ними равно h. Найдите объем призмы.
  20. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Через его вершины A, C и D1 проведена плоскость, образующая с плоскостью основания двугранный угол 60о.  Стороны основания равны 3 и 4. Найдите объем параллелепипеда.

Ответы к домашнему заданию урока 46 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

  1. \sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}V^2}{\sin^2\alpha\cos\alpha}}
  2. \sqrt[4]{3}(S\cos\alpha)^{3/2}
  3. 3a^2\sqrt{3}/4
  4. 2 : 1
  5. \pi a^3\sqrt{3}/18
  6. 7 : 17
  7. Точка P должна совпадать с точкой C
  8. Правильный шестиугольник
  9. \frac{abc}{\sqrt{1+ctg^2\alpha+ctg^2\beta}}
  10. \frac{a^2\sqrt{3}}{12\cos\alpha}
  11. 2r^3 ctg\frac{\alpha}{2} ctg (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})
  12. p^3\sin 2\beta\cos\beta\sin\alpha\cos^2\frac{\alpha}{2}
  13. arccos(3/4)
  14. \displaystyle\frac{H^3\sin (\gamma+\beta)\sin (\gamma-\beta) tg\alpha}{4\sin^2\beta\sin^2\gamma}
  15. V=a^3/3
  16. 336 и 396
  17. 2a^3(\sqrt{2}-1)
  18. 8Q/\sqrt{3}
  19. (S_1+S_2)h/2
  20. 144\sqrt{3}/5