В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. Домашнее задание к уроку 4

Тригонометрия. Урок 4. Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы.

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

Задачи 1 - 16 и ответы к ним  Задачи 17-32 и ответы к ним

  1. \sin y+\cos 3y=1-2\sin^2 y+\sin 2y
  2. \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0
  3. \sin 3x+\sin x+2\cos x=\sin 2x+2\cos^2 x
  4. \frac{2}{\sqrt{3}}(tg x-ctg x)=tg^2 x+ctg^2 x-2
  5. [2] \frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}+2tg x=0
  6. 3-tg^2 \frac{10\pi}{3}\cdot cos(4(x-\frac{7\pi}{2}))+\frac{8}{\cos^2 (9\pi /4)}\sin (\frac{5\pi}{2}-2x)=0
  7. [2] \sin^4 x+\sin^4 (x+\frac{\pi}{4})+\sin^4 (x-\frac{\pi}{4})=\frac{9}{8}
  8. 2\sin^2 x+\sin (x^2)=1
  9. 3+2\sin 3x\cdot \sin x=3\cos 2x
  10. \cos 5x\cdot \cos 4x+\cos 4x\cdot\cos 3x-\cos^2 2x\cdot\cos x=0
  11. 2\sin 3x+\cos x\cdot\cos 2x=(\cos x+\cos 3x)(tg^2 x+tg 2x)
  12. 6\sin x+6\cos 2x=\sin 2x\cdot\cos x+6\cos^2 x
  13. [2] tg (\frac{\pi}{2}\cos x)=ctg(\frac{\pi}{2}\sin x)
  14. [2] \cos (\frac{\pi}{2}tg x)=\sin(\frac{\pi}{2}ctg x)
  15. \sin x\cdot\cos x\cdot\sin 3x-\cos 3x\cdot\sin^2 x=6ctg x
  16. [3] При каких a уравнение 4\sin (x+\frac{\pi}{3})\cos(x-\frac{\pi}{6})=a^2+\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x имеет решения? Найти их.

Ответы к домашнему заданию урока 4 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

   По умолчанию, n \in Z.

  1. 2n\pi, 3\pi/2+2n\pi, 3\pi/8+n\pi/2
  2. 2n\pi/5, \pi/2+n\pi, \pi+2n\pi
  3. 2n\pi, \pi/2+n\pi, -\pi/4+n\pi
  4. \pm \pi/4+n\pi, \pi/3+n\pi, -\pi/6+n\pi
  5. n\pi, \pm arccos(1/6)/2+n\pi
  6. \pm arccos(-1/3)/2+n\pi
  7. \pm arctg((2\sqrt{6}-3)/3)+n\pi
  8. \pm 1\pm\sqrt{1+\pi/2+2n\pi}, n\geq 0
  9. n\pi
  10. \pi/2+n\pi, \pm arccos((1\pm\sqrt{17})/8)/4+n\pi/2
  11. arctg((1\pm\sqrt{3})/2)+n\pi
  12. n\pi, \pi/2+n\pi
  13. \pm\pi/2+2n\pi
  14. arctg((-4n-1\pm\sqrt{(4n+1)^2+4})/2)+k\pi, k,n \in Zarctg((4n+1\pm\sqrt{(4n+1)^2-4})/2)+p\pi, n,p \in Z, n \ne 0
  15. \pi/2+n\pi
  16. Решения есть только при -2\leq a\leq 2. При таких a имеем x=\pm (arccos((a^2-2)/2))/2+n\pi