Тригонометрия. Урок 4. Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы.

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

Задачи 1 - 16 и ответы к ним  Задачи 17-32 и ответы к ним

1. $\sin y+\cos 3y=1-2\sin^2 y+\sin 2y$
2. $\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$
3. $\sin 3x+\sin x+2\cos x=\sin 2x+2\cos^2 x$
4. $\frac{2}{\sqrt{3}}(tg x-ctg x)=tg^2 x+ctg^2 x-2$
5. [2] $\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}+2tg x=0$
6. $3-tg^2 \frac{10\pi}{3}\cdot cos(4(x-\frac{7\pi}{2}))+\frac{8}{\cos^2 (9\pi /4)}\sin (\frac{5\pi}{2}-2x)=0$
7. [2] $\sin^4 x+\sin^4 (x+\frac{\pi}{4})+\sin^4 (x-\frac{\pi}{4})=\frac{9}{8}$
8. $2\sin^2 x+\sin (x^2)=1$
9. $3+2\sin 3x\cdot \sin x=3\cos 2x$
10. $\cos 5x\cdot \cos 4x+\cos 4x\cdot\cos 3x-\cos^2 2x\cdot\cos x=0$
11. $2\sin 3x+\cos x\cdot\cos 2x=(\cos x+\cos 3x)(tg^2 x+tg 2x)$
12. $6\sin x+6\cos 2x=\sin 2x\cdot\cos x+6\cos^2 x$
13. [2] $tg (\frac{\pi}{2}\cos x)=ctg(\frac{\pi}{2}\sin x)$
14. [2] $\cos (\frac{\pi}{2}tg x)=\sin(\frac{\pi}{2}ctg x)$
15. $\sin x\cdot\cos x\cdot\sin 3x-\cos 3x\cdot\sin^2 x=6ctg x$
16. [3] При каких $a$ уравнение $4\sin (x+\frac{\pi}{3})\cos(x-\frac{\pi}{6})=a^2+\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$ имеет решения? Найти их.

Ответы к домашнему заданию урока 4 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

   По умолчанию, $n \in Z$.

1. $2n\pi, 3\pi/2+2n\pi, 3\pi/8+n\pi/2$
2. $2n\pi/5, \pi/2+n\pi, \pi+2n\pi$
3. $2n\pi, \pi/2+n\pi, -\pi/4+n\pi$
4. $\pm \pi/4+n\pi, \pi/3+n\pi, -\pi/6+n\pi$
5. $n\pi, \pm arccos(1/6)/2+n\pi$
6. $\pm arccos(-1/3)/2+n\pi$
7. $\pm arctg((2\sqrt{6}-3)/3)+n\pi$
8. $\pm 1\pm\sqrt{1+\pi/2+2n\pi}, n\geq 0$
9. $n\pi$
10. $\pi/2+n\pi, \pm arccos((1\pm\sqrt{17})/8)/4+n\pi/2$
11. $arctg((1\pm\sqrt{3})/2)+n\pi$
12. $n\pi, \pi/2+n\pi$
13. $\pm\pi/2+2n\pi$
14. $arctg((-4n-1\pm\sqrt{(4n+1)^2+4})/2)+k\pi, k,n \in Z$, $arctg((4n+1\pm\sqrt{(4n+1)^2-4})/2)+p\pi, n,p \in Z, n \ne 0$
15. $\pi/2+n\pi$
16. Решения есть только при $-2\leq a\leq 2$. При таких $a$ имеем $x=\pm (arccos((a^2-2)/2))/2+n\pi$