Тригонометрия. Урок 5. Метод вспомогательного аргумента.

Домашнее задание из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

1. $\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x-1$
2. $2\sin x+7\cos x=\sqrt{53}/2$
3. $\sqrt{3}\sin 2x+2\sin^2 x-1=2\cos x$
4. $3\sin x+4\cos x=5$
5. $\sin x+\cos x=3/2$
6. $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{3}$
7. $\cos 2x=1-2\sin x+\sqrt{3}\sin 2x$
8. $3tg x=4+\frac{5}{\cos x}$
9. $(\sin x-\sqrt{3}\cos x)\sin 3x=2$
10. $(\sin x+\sqrt{3}\cos x)\sin 4x=2$
11. $\cos 2x-\sin 2x=1-\sin x-\cos x$
12. $(\cos x-2\sin x-2)(1-\sin x)=\cos^2 x$
13. $\sqrt{3}\cos x+ctg^2 x=\frac{\sin^3 x+1}{\sin^2 x}$
14. $4\sin^2 x=\sin 2x+2\sin x+5\cos x+5$
15. [2] $\sin\frac{3x}{2}+\cos\frac{x}{2}\cdot (\sin x+3)=1+\sin x-\sin\frac{x}{2}$
16. [2] $\sin x-\sin 15x\cdot \cos x=\frac{3}{2}$
17. [3] $\sin 3x-2\sin 18x\cdot \sin x=3\sqrt{2}-\cos 3x+2\cos x$
18. [3] $2\sqrt{3}\sin 5x-\sqrt{3}\sin x=\cos 24x\cdot\cos x+2\cos 5x-6$
19. [3] Для каждого $a$ решите уравнение $\sin (x-a)=\sin x+\sin a$
20. [3] Для каждого $a$ решите уравнение $4\cos x\cdot\sin a+2\sin a\cdot\cos a-3\cos a=2\sqrt{7}$

Ответы к домашнему заданию урока 5 из В.В. Ткачук "Математика - абитуриенту"

   По умолчанию, $n \in Z$.

1. $(1+(-1)^n)\pi/12+n\pi/2$
2. $-arccos(2/\sqrt{53})+(-1)^n\pi/6+n\pi$
3. $2\pi/9+2n\pi/3, 2\pi/3+2n\pi$
4. $-arccos(3/5)+\pi/2+2n\pi$
5. нет решений
6. $\pi/12+(-1)^n\pi/6+n\pi/2$
7. $n\pi, -\pi/3+(-1)^n\pi/6+n\pi$
8. $arccos(3/5)+\pi/2+2n\pi$
9. $-\pi/6+n\pi$
10. нет решений
11. $-\pi/4+n\pi, (-1)^n\pi/6+n\pi$
12. $\pi/2+2n\pi, arccos(3/\sqrt{10})+(-1)^{n+1}arcsin(3/\sqrt{10})+n\pi$
13. $\pi/6+2n\pi, -\pi/2+2n\pi$
14. $\pi+2n\pi, -arccos(1/\sqrt{5})+(-1)^{n+1}arcsin(1/(2\sqrt{5}))+n\pi$
15. $-\pi/2+2n\pi, \pm 2arccos(1/3)+4n\pi$
16. нет решений
17. $3\pi/4+2n\pi$
18. $\pi/3+2n\pi$
19. если $a=2n\pi$, то х - любое действительное число, иначе $x=\pi+2k\pi, x=a+\pi+2k\pi, k \in Z$
20. если $a=arccos(-2/\sqrt{7})+2n\pi$, то $x=-\pi/6+2k\pi, k \in Z$, если $a=-arccos(-2/\sqrt{7})+2n\pi$, то $x=5\pi/6+2k\pi, k \in Z$.