Вступительный экзамен в ШАД 2014 Минск

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
Минск, Беларусь, 7 июня 2014

Условия задач

Стержень длины L произвольным образом разламывают на две части и выбрасывают меньшую часть. Затем оставшуюся часть ломают и снова выбрасывают меньшую часть. Найдите вероятность того, что длина оставшейся части не меньше L/2.
Найдите минимум и максимум функции $f(x,y)=x^2+y^2-12x+16y$ на круге $x^2+y^2\le5^2$ .
Сколько 2014-значных чисел, составленных из цифр 1, 3, 4, 6, 7, 9, делится на 7?
В социальной сети зарегистрировано $n$ человек. Каждый участник может подписываться на сообщения других участников, причем если человек А подписан на B, то из этого не следует, что B подписан на A. Известно, что среди зарегистрированных пользователей есть знаменитость - человек, на которого подписаны все $n-1$ других пользователей, но сам он не подписан ни на кого. При помощи одного запроса к серверу вы можете определить, подписан ли человек А на сообщения человека В. Предложите алгоритм, позволяющий найти знаменитость за не более чем $n$ запросов.
Найдите сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{2^n}{n!}$ .
Квадратная матрица А размера n x n строится следующий образом: $a_{ij}=1$ , если $i$ делит $j$ , и $a_{ij}=0$ иначе. Вычислите определитель матрицы А.
В коридоре длины L находятся n роботов, i-й из которых изначально расположен в позиции $x_i$ (все позиции различны, $0\le x_i\le L$ . Все роботы движутся с единичной скоростью вдоль коридора, $i$ -й робот движется со скоростью $v_i$ ( $\pm 1$ ). При столкновении робота с границей коридора или с другим роботом направление вектора скорости робота меняется на противоположное. Прошло t единиц времени ... . a) Требуется найти множество точек, в которых находятся роботы (без учета порядка: не важно, какой робот находится в какой точке; точки в множестве не должны повторяться); б) Для каждого робота $i$ необходимо указать его финальное положение $y_i$ в коридоре. Предложите эффективный алгоритм решения этих задач.