Вступительный экзамен в ШАД 2015

2015

Условия задач

1. Найдите предел последовательности $(a_n)$, для которой $a_0=-1/2$, $a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n^2(a_n-3)}{4}$
2. На плоскости, замощённой одинаковыми прямоугольниками со сторонами 10 и 20 (прямоугольники примыкают сторонами), рисуют случайную окружность радиуса 4. Найдите вероятность того, что окружность имеет общие точки ровно с тремя прямоугольниками.
3. Дима и Ваня по очереди заполняют матрицу размера 2n×2n. Цель Вани – сделать так, чтобы получившаяся в итоге матрица имела собственное значение 1, а цель Димы – помешать ему. Дима ходит первым. Есть ли у кого-нибудь из них выигрышная стратегия?
4. Найдите определитель матрицы $A=(a_{ij})$, где $a_{ij}=C_{i+j-2}^{i-1}$.
5. Даны два массива целых чисел a[1..n] и b[1..k], причём все элементы b различны. Требуется найти набор индексов $i_1<i_2<...<i_k$, для которого набор $a[i_1],...,a[i_k]$ является перестановкой элементов массива b, причём разность $i_k-i_1$ минимально возможная. Ограничение по времени — O(nk) (но, может быть, вы сможете быстрее), по памяти — O(n).
6. В 2222 году волейбольные турниры проводят по новой системе. Говорят, что команда А превосходит команду В, если А выиграла у В или у какой-либо команды, выигравшей у В. Каждая пара команд играет по одному разу. Ничья исключается волейбольными правилами. Чемпионом объявляют команду, превзошедшую все другие команды. а) Докажите, что чемпион обязательно найдётся; б) Докажите, что не может быть ровно двух чемпионов.
7. Вычислите интеграл $\int\limits_{1/3}^3\displaystyle\frac{arctgx}{x^2-x+1}dx$
8. На плоскости нарисована ломаная с n звеньями. Длина каждого звена равна 1, ориентированный угол между соседними звеньями с равной вероятностью равен α или –α. Найдите математическое ожидание квадрата расстояния от её начальной точки до конечной.

Ответы:

1. 0
2. $(8-2\pi)/25$
3. У Вани
4. 1
5. -
6. -
7. $\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\cdot arctg(4\sqrt{3})$
8. $n\cdot\displaystyle\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}-2\cos^2\alpha\cdot\frac{1-\cos^n\alpha}{(1-\cos\alpha)^2}$

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов