Вступительный экзамен в ШАД 2015

Вступительный экзамен в ШАД 2015

яндекс2015

Условия задач

  1. Найдите предел последовательности (a_n), для которой a_0=-1/2, a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_n^2(a_n-3)}{4}
  2. На плоскости, замощённой одинаковыми прямоугольниками со сторонами 10 и 20 (прямоугольники примыкают сторонами), рисуют случайную окружность радиуса 4. Найдите вероятность того, что окружность имеет общие точки ровно с тремя прямоугольниками.
  3. Дима и Ваня по очереди заполняют матрицу размера 2n×2n. Цель Вани – сделать так, чтобы получившаяся в итоге матрица имела собственное значение 1, а цель Димы – помешать ему. Дима ходит первым. Есть ли у кого-нибудь из них выигрышная стратегия?
  4. Найдите определитель матрицы A=(a_{ij}), где a_{ij}=C_{i+j-2}^{i-1}.
  5. Даны два массива целых чисел a[1..n] и b[1..k], причём все элементы b различны. Требуется найти набор индексов i_1<i_2<...<i_k, для которого набор a[i_1],...,a[i_k] является перестановкой элементов массива b, причём разность i_k-i_1 минимально возможная. Ограничение по времени — O(nk) (но, может быть, вы сможете быстрее), по памяти — O(n).
  6. В 2222 году волейбольные турниры проводят по новой системе. Говорят, что команда А превосходит команду В, если А выиграла у В или у какой-либо команды, выигравшей у В. Каждая пара команд играет по одному разу. Ничья исключается волейбольными правилами. Чемпионом объявляют команду, превзошедшую все другие команды. а) Докажите, что чемпион обязательно найдётся; б) Докажите, что не может быть ровно двух чемпионов.
  7. Вычислите интеграл \int\limits_{1/3}^3\displaystyle\frac{arctgx}{x^2-x+1}dx
  8. На плоскости нарисована ломаная с n звеньями. Длина каждого звена равна 1, ориентированный угол между соседними звеньями с равной вероятностью равен α или –α. Найдите математическое ожидание квадрата расстояния от её начальной точки до конечной.

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов