Вступительный экзамен в ШАД 2017
Вступительный экзамен в Школу анализа данных
3 июня 2017
Условия задач
- Пусть и - два ненулевых вектора из . Верно ли, что найдется симметричная матрица , для которой ?
- Непрерывная функция такова, что . Докажите, что для какого-то имеет место равенство .
- Из равномерного распределения на отрезке независимо выбираются две точки и . При каких события и независимы?
- В компании "Тындекс" у каждого сотрудника не менее 50 знакомых. Оказалось, что есть два сотрудника, знакомые друг с другом лишь через 9 рукопожатий (то есть кратчайшая соединяющая из цепочка из попарно знакомых людей содержит 8 промежуточных людей). Докажите, что в этой компании хотя бы 200 сотрудников.
- Квадратная матрица размера nxn имеет различные собственные значения . Найдите все собственные значения (в том числе комплексные) матрицы .
- Вы - воин Света, и сегодня вам нужно победить толпу из гоблинов, каждый из которых изначально имеет единиц жизни (, ). Боретесь с гоблинами вы с помощью специального магического посоха. Если ударить таким посохом по гоблину, тот сразу же теряет единиц жизни, а все остальные гоблины в толпе теряют единиц каждый (таковы магические свойства посоха). Гоблин считается побежденным, если после очередного удара его здоровье становится меньше или равно нулю. Обычная борьба с нечистью давно вам приелась, и чтобы внести разнообразие в сегодняшнюю битву, вы решили победить всех гоблинов, сделав минимально возможное число ударов посохом. Предложите алгоритм нахождения этого числа ударов. Ваш алгоритм должен иметь асимптотику по времени , затраты по памяти - .
- Пусть и - две случайных булевых матрицы nxn, у которых каждый элемент равен 1 с вероятностью (значения различных элементов не зависят друг от друга). Сколько в среднем единиц будет в их произведении, если сложение и умножение происходят по модулю 2?
- Исследуйте на сходимость (абсолютную и условную) ряд , где
смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов