Вступительный экзамен в ШАД 3 июня 2017

Вступительный экзамен в ШАД 2017

яндекс

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
3 июня 2017

Условия задач

  1. Пусть x и y - два ненулевых вектора из R^n. Верно ли, что найдется симметричная матрица A, для которой y=Ax?
  2. Непрерывная функция f(x) такова, что f(0)=f(2). Докажите, что для какого-то x\in[0;2] имеет место равенство f(x)=f(x-1).
  3. Из равномерного распределения на отрезке [0;1] независимо выбираются две точки x и y. При каких a события max(1-2x,y)<a и max(1-2y,x)<a независимы?
  4. В компании "Тындекс" у каждого сотрудника не менее 50 знакомых. Оказалось, что есть два сотрудника, знакомые друг с другом лишь через 9 рукопожатий (то есть кратчайшая соединяющая из цепочка из попарно знакомых людей содержит 8 промежуточных людей). Докажите, что в этой компании хотя бы 200 сотрудников.
  5. Квадратная матрица A размера nxn имеет различные собственные значения \lambda_1,...,\lambda_n. Найдите все собственные значения (в том числе комплексные) матрицы \begin{bmatrix}0& -A\\A&0\end{bmatrix}.
  6. Вы - воин Света, и сегодня вам нужно победить толпу из n гоблинов, каждый из которых изначально имеет h_i единиц жизни (1\le i\le n, h_i\in Z, 0<h_i<H). Боретесь с гоблинами вы с помощью специального магического посоха. Если ударить таким посохом по гоблину, тот сразу же теряет p единиц жизни, а все остальные гоблины в толпе теряют q единиц каждый (таковы магические свойства посоха). Гоблин считается побежденным, если после очередного удара его здоровье становится меньше или равно нулю. Обычная борьба с нечистью давно вам приелась, и чтобы внести разнообразие в сегодняшнюю битву, вы решили победить всех гоблинов, сделав минимально возможное число ударов посохом. Предложите алгоритм нахождения этого числа ударов. Ваш алгоритм должен иметь асимптотику по времени O(nlogn), затраты по памяти - O(n).
  7. Пусть A и B - две случайных булевых матрицы nxn, у которых каждый элемент равен 1 с вероятностью p (значения различных элементов не зависят друг от друга). Сколько в среднем единиц будет в их произведении, если сложение и умножение происходят по модулю 2?
  8. Исследуйте на сходимость (абсолютную и условную) ряд \sum_{k=1}^{\infty}a_k, где a_k=\int_{0}^{\frac{\sin k}{k}}\displaystyle\frac{\sin t}{t}dt

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *