Вступительный экзамен в ШАД 27 мая 2017

Вступительный экзамен в ШАД 2018

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
9 июня 2018

Условия задач

Пусть $A$ - квадратная матрица $n$ x $n$ . Докажите, что $n-rkA\geq rkA-rkA^2$
Сколькими способами $n$ различных четных чисел и $n$ различных нечетных чисел можно записать в таблицу $2$ x $n$ таким образом, чтобы нечетное число никогда не стояло под четным? Ответ должен содержать не более одной суммы.
На станцию приходят в случайное время две электрички. Времена их приходов независимы и имеют экспоненциальное распределение с плотностью $e^{-x}\cdot I$ { $x>0$ }. Студент приходит на станцию в момент времени 2. Найдите
a) вероятность того, что он сможет уехать хотя бы на одной электричке;
б) математическое ожидание времени ожидания студентом ближайшей электрички (считаем, что время ожидания равно нулю, если студент опоздал на обе электрички).
Верно ли, что всякая нечетная непрерывная функция, удовлетворяющая условию $f(2x)=2f(x)$ , линейна?
Пусть $A$ и $B$ - ортогональные матрицы (не ортогональные друг другу, а просто ортогональные!). Докажите, что $det(A^TB-B^TA)=det(A+B)\cdot det(A-B)$ .
Назовем элемент прямоугольной матрицы седлом, если он является наибольшим в своей строке и наименьшим в своем столбце или наоборот. Придумайте алгоритм, за $O(nm)$ операций находящий все седла в матрице $A[1..n][1..m]$ , использующий не более $O(n+m)$ памяти и не более 1 раза обращающийся к каждому элементу $A$ (можете считать, что элемент $A[i][j]$ превращается в $NaN$ сразу после вызова $A[i][j]$ ). Считайте, что все элементы матрицы различны.
В компании «Тындекс» работает 100 сотрудников, некоторые из них знакомы друг с другом. Докажите, что найдется такая пара из них, для которой существует хотя бы 50 сотрудников, каждый из которых либо знаком с обоими людьми в этой паре, либо не знаком ни с одним из этой пары.
Пусть { $\xi_n$ } $_{n\geq1}$ - последовательность случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Сходится ли ряд $\sum_{n=1}^{\infty}P(\xi_n>\sqrt{2ln(n)+2ln(ln(n))})$ ?