Вступительный экзамен в ШАД  31 мая 2015

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
31 мая 2015

Условия задач

1. Квадратная матрица $A$ такова, что $tr(AX)=0$ для любой матрицы $X$, имеющей нулевой след. Докажите, что матрица $A$ является скалярной (то есть имеет вид $\lambda E$ для некоторого скаляра $\lambda$).
2. Придя на письменный экзамен в ШАД, студенты поняли, что среди любых четырех человек хотя бы один уже знаком с тремя оставшимися. Докажите, что в этом случае среди любых четверых человек хотя бы один уже знаком со всеми остальными студентами.
3. На окружности выбираются две случайные точки A и B. Найдите математическое ожидание площади меньшего из сегментов, на которые хорда AB разбирает круг.
4. Дан массив из n целых чисел. Предложите алгоритм, сортирующий их по остатку при делении на 5 за время O(n) (в каком порядке будут расположены числа, имеющие один и тот же остаток, неважно). Ограничение по дополнительной памяти - O(1).
5. Исследуйте на сходимость и абсолютную сходимость ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})$
6. У вас имеется неограниченное число костей в форме всех возможных правильных многогранников. Можно ли, однократно бросив некоторый набор таких костей, симулировать бросок (а) правильной семигранной кости? (б) правильной 15-гранной кости?
7. Пусть A и B - квадратные вещественные матрицы одного и того же размера. Докажите, что $det(E-AB)=det(E-BA)$.
8. За столом сидят $n$ старателей, перед каждым из которых находится кучка золотого песка. Каждую минуту происходит следующее: по общей команде каждый из них перекладывает в свою кучку половину песка из кучки левого соседа и половину - из кучки правого соседа. Опишите асимптотическое поведение кучек (а) при n=3; (б) при произвольном n.

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов