Высшая математика. Последовательности и их свойства

  1. Найти формулу n-ого члена последовательности, заданной рекуррентно:   x_1=10,\,x_{n+1}=\frac13x_n.
  2. Найти формулу n-ого члена последовательности, заданной рекуррентно: x_1=3,\,x_{n+1}=\frac{2x_n}{5-3x_n}.
  3. Найти сумму первых m членов последовательности x_n=\displaystyle\frac1{(2n-1)(2n+1)}.
  4. Найти сумму первых m членов последовательности    x_n=\displaystyle\frac1{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}.
  5. Доказать, что последовательность  x_n=\displaystyle\frac{3n+4}{n+2}  является возрастающей.
  6. Доказать, что последовательность x_n=\sqrt[3]{n+8}  является возрастающей.
  7. Доказать, что последовательность x_n=\displaystyle\frac{9^n+1}{3^{2n}} является убывающей.
  8. Доказать, что последовательность x_n=\displaystyle\frac{2n-7}{2n-9} не является возрастающей и не является убывающей.
  9. Найти наибольший член последовательности x_n=\displaystyle\frac{n}{n^2+4}.
  10. Найти наименьший член последовательности  x_n=n^2+\displaystyle\frac{16}n.
  11. Доказать, что последовательность x_n=\displaystyle\frac{4n^2-3}{n^2+1} является ограниченной.
  12. Доказать, что последовательность x_n=\displaystyle\frac{n^2}{1000n-9} является неограниченной.
  13. Дана последовательность x_n=2n^2-11n+442. Является ли членом этой последовательности число: а)463;  б)876?
  14. Сколько членов последовательности x_n=\displaystyle\frac{(-1)^n+9}{10n-9} принадлежит промежутку (0.02; 0.22)?