Высшая математика. Применение производной

 

  1. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции y=x^3-\frac{3}{2}x^2-6x+4.
  2. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции y=x^2e^{-x}.
  3. Найдите интервалы монотонности функции y=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}.
  4. Найдите экстремумы функции y=(x^2-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^2+4x.
  5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=3x-x^3 на отрезке [-2;3].
  6. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом R таким образом, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Ответ: R\sqrt{3}
  7. Даны точки A = (0;3) и B = (4;5). Найдите на оси Ох точку M такую, чтобы S = AM + MB было наименьшим.
  8. На окружности радиуса 2 дана точка А. Хорда BC проведена параллельно касательной к окружности в точке А так, что площадь треугольника ABC наибольшая. Найдите расстояние от точки А до хорды BC.
  9. Найдите высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R. Ответ: 4R/3
  10. Докажите, что \sin^6 x+\cos^6 x +0.75\sin^2 2x=1.
  11. Найдите угол, под которым пересекаются графики функций x^2+y^2=8ax и y^2=\frac{x}{2a-x}.
  12. Составьте уравнения всех общих касательных к графикам функций y=x^2+4x+8 и y=x^2+8x+4.
  13. Найдите приближенное значение выражения \sqrt[10]{1000}.
  14. Найдите приближенное значение выражения arctg 0.01.
  15. Определите значения коэффициентов p и q, при которых парабола y=x^2+px+q касается прямых y=5x+1 и y=-x-2.
  16. Докажите, что при 0<x\leq 4 справедливо неравенство x^2\leq 6x-4\ln x.
  17. Найдите точки перегиба, интервалы выпуклости функции y=x^3-5x^2+3x-5.
  18. Найдите точки перегиба, интервалы выпуклости функции y=(x+2)^6+2x+2.
  19. При каких значениях a и b точка (1;3) будет точкой перегиба функции y=ax^3+bx^2?
  20. Проведите полное исследование функции y=\frac{x^3}{2(x+1)^2}.
  21. Проведите полное исследование функции y=\frac{8x}{(x-2)^2} и постройте ее график.
  22. Проведите полное исследование функции y=\ln (x^2-1)+\frac{1}{x^2-1} и постройте ее график.