Задачи по теории вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Задачи по теории вероятностей

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Содержание

  1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).
  2. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена .
  3. Доказать, что если событие А влечет за собой событие В, то Р(В)\geqР(А).
  4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий A1 и A2 соответственно равны р1 и р2. Найти вероятность появления только одного из этих событий .
  5. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
  6. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго—0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
  7. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
  8. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
  9. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
  10. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
  11. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.
  12. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности того, что деталь содержится: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.
  13. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.
  14. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: д) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани—другое число очков; б) на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей грани—другое число очков; в) на всех выпавших гранях появится разное число очков.
  15. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
  16. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
  17. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти вероятности следующих событий: а) все четыре точки попадут внутрь треугольника; б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадет на каждый «малый» сегмент. Предполагается, что вероятность попадания точки в фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.
  18. Отрезок разделен на три равные части. На этот отрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадает по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
  19. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
  20. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

  21. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
  22. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
  23. В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченные шары будут иметь номера I, 4, 5 независимо от того, в какой последовательности они появились.
  24. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
  25. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек).
  26. По данным переписи населения (1891 г.) Англии и Уэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья  составили 5% обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья —7,9%, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья —8,9%, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья —78,2%. Найти связь между цветом глаз отца и сына.
  27. Найти вероятность Р(А) по данным вероятностям: Р(АВ) = 0,72 и Р(A\bar{B}) = 0,18.
  28. Найти вероятность P(A\bar{B}) по данным вероятностям: Р(А) = a, P(B)  = b, P(A+B) = c.
  29. Найти вероятность Р(\bar{A}\bar{B}) по данным вероятностям: Р(A) = a, P(B) = b, P(A+B) = c.
  30. Наступление события АВ необходимо влечет наступление события С. Доказать, что Р(А)+Р(В)-Р(С)\leq1.
  31. Докажите, что P_A(B)\geq 1-\displaystyle\frac{P(\bar{B})}{P(A)}. Предполагается, что Р(А)>0.
  32. Наступление события ABC необходимо влечет наступление события D. Доказать, что P(A)+P(B)+P(C)-P(D)\leq2.
  33. Вывести теорему сложения вероятностей для трех совместных событий: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). Предполагается, что для двух совместных событий теорема сложения уже доказана: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2).
  34. Даны три попарно независимых события A, В, С, которые, однако, все три вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность р, найти наибольшее возможное значение р.

Содержание