Концепция школьной геометрии
И.Ф. Шарыгин
Не в том суть жизни, что в ней есть,
но в вере в то, что в ней должно быть
Иосиф Бродский
Концепция любого учебного предмета должна отвечать на три вопроса: Зачем (нужна геометрия)? Какая (нужна геометрия)? Как (нужно преподавать геометрию)? Соответственно этим трём вопросам мы имеем три части.
1. Цели обучения
В последнее время в различных газетах и журналах, в радио- телевизионных передачах часто встречаются материалы, касающиеся положения дел в средней школе. Однако если судить по этим публикациям и передачам, то может создаться впечатление, что в современной средней школе почти отсутствует математика. Нынче школьник изучает массу разных предметов, тут история и сексуальное воспитание, информатика и Закон Божий, эстетика и основы маркетинга, и многое, многое Но математики нет, а если она ещё где-то и существует, то входит в число второстепенных предметов. Похоже, именно так думают сегодня многие руководители нашего государства, а за ними и руководящие образованием чиновники. И в этом — большая стратегическая ошибка. Родной язык и литература, физкультура, математика — вот три стержня среднего образования. Среди всех предметов математика охватывает самый широкий спектр учебных, образовательных, развивающих и других самых разных целей. Понятно, что основные цели математического образования в той или иной степени относятся и к его геометрической составляющей, хотя некоторые специфичны именно для неё. Но прежде чем мы перейдём к описанию этих целей, зададим и попробуем ответить ещё на один вопрос.
Кто определяет цели образования? На этот вопрос даётся стандартный ответ: общество, которое формирует так называемый социальный заказ. Но тогда возникают другие вопросы: а кто конкретно выступает в качестве доверенного лица общества и доводит до его же сведения им же сформированный социальный заказ? Как можно быть уверенным, что цели образования, сформулированные какими-то крупными учеными или высокопоставленными чиновниками, в самом деле выражают этот социальный заказ? Как меняются цели образования в пространстве и времени?
В западных социологических исследованиях существует теория, согласно которой развитие общества и его компонент происходит схеме: накапливающиеся изменения и противоречия формируют социальный вызов (social challenge), на который должен последовать соответствующий ответ (response), и если этот ответ в самом деле соответствует вызову, то общество (общественные институты) развиваются.
Если же данный ответ не соответствует вызову, то продолжающие накапливаться внутренние противоречия могут стать мощной разрушающей силой. (Очевидная аналогия — внутренние болезни человека.) Нетрудно увидеть сходство понятий социальный заказ и социальный вызов.
Подобная схема справедлива и для системы образования, при этом для школы важен ответ не в виде формулировок общих целей, а их реализация в комплекте учебников и учебных пособий. Но в любом случае очень важно, насколько имеющийся ответ соответствует социальному заказу. Похоже, что в первой половине XX столетия российское (советское) общество получило от школьного математического (и не только математического) образования адекватный ответ на социальный заказ (социальный вызов). Накопившиеся затем внутренние противоречия не нашли своего адекватного ответа (конец семидесятых), и математическое (опять же не только) образование начало деградировать. Известные общественно-политические события конца восьмидесятых резко обострили ситуацию и в системе образования. Ответ на социальный вызов попыталась дать небольшая группа учёных от образования, расположившихся в далёких от стола президиума рядах. К сожалению, попытка оказалась с негодными (если не учитывать деньги) средствами, хотя основной своей цели реформаторы всё же достигли, они пересели в кресла первого ряда и отчасти в президиум (в смутное время повсеместно всплывают мутные люди), слегка потеснив старожилов, но процесс деградации образования не только продолжился, но и ускорился.
Практическое значение (общематематический аспект). Говоря о практическом значении математики, надо иметь в виду, что практическое значение математики как науки, и математики как образовательного предмета — это далеко не одно и то же, хотя сходство безусловно есть.
Академик В. И. Арнольд, начиная свою лекцию «Зачем нужна математика?», привёл слова Роджера Бэкона, сказанные более семисот лет тому назад: «Человек, не знающий математики, неспособен ни к каким другим наукам. Более того, он даже неспособен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства». По мнению В.И. Арнольда, в современном обществе роль математики если и изменилась, то в сторону увеличения её значимости.
Стоит напомнить здесь также высказывание Наполеона: «Процветание и совершенствование математики тесно связано с благосостоянием государства». Сегодня в западных, или, как у нас любят самоуничижительно говорить, цивилизованных, государствах резко выросло значение математического образования и математического знания в сфере бизнеса.
Возникли такие разделы математики, как финансовая математика, актуарная математика (если сфера интересов первой понятна из названия, то по поводу второй поясним: здесь исследуется теория страхового бизнеса); некоторые достижения математиков, например, полученная ими формула справедливой цены, произвели настоящий переворот в технике биржевых и вообще коммерческих сделок (именно за это была присуждена Нобелевская премия по экономике в 1997 г.), организуются семинары и конференции, в которых участвуют математики и бизнесмены, на высокооплачиваемые должности в банки и другие коммерческие приглашаются профессиональные математики. Нам кажется, что уже этих доводов достаточно. Образование вообще и математическое в особенности имеет огромное экономическое значение. Но в нашей стране трудно убедить общественно-обывательское сознание в полезности математического знания для достижения жизненного успеха, в то время как со всех сторон — с экранов телевизоров, со страниц газет, из соседних подъездов — видны совершенно противоположные примеры.
И пока наше общество и его руководители не осознают важность образования, математического образования, пока это осознание не будет переведено в конкретную практическую плоскость, мы не выберемся с задворок цивилизации, на которых находимся сегодня.
Сегодняшний уровень развития техники и технологий предъявляет особые требования к математической подготовке обслуживающего персонала. В Японии, например, одним из критериев отбора на некоторые рабочие должности является знание высшей математики. Во все времена и во всех странах (кроме России сегодня) большое внимание к математическому образованию проявляли военные ведомства и близкие к нему структуры, они же во многом содействовали его развитию. (Хотя математики от этого и не всегда в восторге.) Сегодня особенно справедлив тезис, что от качества математического образования зависит обороноспособность страны. Математически неподготовленному солдату нельзя доверить сверхточную, сверхмощную и сверхдорогую современную военную технику. Практика последних военных конфликтов показала, что современные войны, а тем более будущие, выигрываются в школьных аудиториях и научных лабораториях.
Как видно из сказанного, роль математического знания сегодня в обществе столь велика, что справедливо утверждение: Плохое математическое образование ограничивает свободу личности, ущемляет права человека, в частности, право на свободный выбор профессии.
Плохое математическое образование — прямая угроза национальной безопасности, причём почти всем её аспектам: военному, экономическому, технологическому и прочим.
Знание. Одним из результатов любого обучения является знание. Знание основных геометрических законов, формул и теорем необходимо человеку для нормального функционирования в обыденной жизни. Но следует всё же признать, что объём этих знаний весьма невелик быть вмещён в очень небольшой курс. Поэтому, как бы мы ни подчеркивали, что геометрия возникла из практических потребностей человека и ее практическая значимость сегодня по-прежнему велика, убедить общество в необходимости выделения большого количества часов в школе для изучения геометрии лишь на этом основании нам вряд ли удастся. Не следует также преувеличивать значение знания школьной геометрии для продолжения образования. Многие понятия школьной геометрии заканчивают своё существование в школе и никак не используются в высшей математике.
Здесь стоит заметить, что очень часто со стороны многочисленных обывателей, в том числе и высокопоставленных обывателей, влияющих на принятие важных решений, раздаются обвинения в адрес математики, упрёки в том, что те или иные математические знания не применяются в практической жизни. “А зачем надо уметь решать квадратные уравнения, извлекать корни? Где в практической жизни встречаются логарифмы? Для чего нужно знать свойства описанного четырёхугольника?” – строго спрашивают они. И как только математики начинают всерьёз отвечать на подобные вопросы, опровергать выдвинутые обвинения, они тотчас попадают в глупое положение, их позиции становятся очень уязвимыми. Ответ здесь один: подобные вопросы свидетельствуют о глубоком непонимании целей математического образования, его роли и места в современном обществе. Нельзя говорить отдельно о практическом значении того или иного конкретного математического утверждения, но можно и нужно говорить о большом практическом значении математического знания в целом. Отдельные теоремы — это звено в цепи, убери его — разрушится вся цепь.
Особая роль элементарной геометрии по отношению к серьёзной науке, причём не только математической, состоит также в том, что она (элементарная геометрия) является неисчерпаемым источником интересных и оригинальных идей, облегчает поиск решения самых различных научных и технических проблем.
Культурное развитие. Геометрия — это феномен общечеловеческой культуры. Человек, не знающий геометрии, не может считаться культурным. Можно сказать, что геометрия является самым гуманитарным из негуманитарных предметов, посредством геометрии реализуются многие цели, специфичные именно для предметов гуманитарного цикла. При этом геометрический критерий культурного развития человека, в отличие от, скажем, литературного, является общечеловеческим.
Например, некий человек, живущий в Новой Зеландии, вполне быть культурным, даже если он не знаком с творчеством Пушкина. Но если он не знает теоремы Пифагора, то его право называться очень и очень сомнительно. Многие теоремы геометрии представляют собой одни из самых древних памятников мировой культуры. Здесь очень важно понимать, что история геометрии по сути является отражением истории развития человеческой мысли, что она является одной из (двух, трёх? а может, вообще единственной?) первонаук, и её возраст совпадает с возрастом вида homo sapiens. Знание истории развития человеческого общества, необходимое для любого культурного человека, включает в себя и определённые элементы геометрии.
Не следует, однако, упускать из виду, что геометрическая культура при всей своей общечеловечности, обладает и национальным колоритом, отражает национальный менталитет. Курс геометрии, например, во французской школе достаточно сильно отличается от российского курса.
Духовное развитие. Геометрия возникла не только из практических потребностей человека, но, и это очень важно, и из его духовных потребностей. И здесь её можно поставить в один ряд с поэзией, музыкой и живописью. Геометрия занимает важное место в ряду культовых наук. В качестве примера можно взять Японию. Синтоизм — основная религия Японии — всячески поощряет занятия геометрией. В средние века в этой стране была сильно развита так называемая храмовая геометрия. Достижения японских геометров, которые они оформляли в виде ярко раскрашенных досок и вывешивали при синтоистских храмах, во многом опережали достижения европейских геометров.
Конечно, отделить духовное развитие от культурного не так просто. В некотором смысле культура есть форма проявления духовности. Но не только. Возможно, что духовное развитие — один из наиболее непонятных и труднопроверяемых видов развития. Но его нельзя отрицать, как нельзя отрицать и то, что геометрия способствует духовному развитию личности.
Интеллектуальное развитие. То, что математика является одним из самых важных средств интеллектуального развития человека, которыми располагает человечество, общеизвестно и общепризнано. Математика является также важнейшим средством оценивания уровня интеллектуального развития человека. При этом геометрические критерии значимы для высоких уровней.
Геометрия, впрочем, как и алгебра, является носителем собственного метода познания мира. Овладение этим методом — важнейшая цель образования. Но вклад геометрии в интеллектуальное человека этим не исчерпывается. Отдельно следует выделить роль геометрии на начальных ступенях школьного образования. Надо помнить, что не только исторически (для всего человечества), но и генетически (для отдельного человека) геометрическая деятельность является первичным видом интеллектуальной деятельности, и заниматься этой деятельностью человеку приходится буквально с момента рождения.
Выявленная и доказанная психологами и физиологами функциональная асимметрия головного мозга заставляет нас также несколько иначе взглянуть на значение геометрии в развитии человека. Оказывается, наши полушария по-разному функционируют. Левое ведает логическим, алгоритмическим мышлением. Работает левое полушарие лишь во время бодрствования. Когда человек спит, оно выключается. Правое отвечает за чувственную, образную сферы нашего сознания. Правое полушарие функционирует постоянно. Наши сновидения — продукт деятельности правого полушария. Некоторые из известных методик обучения математике чрезмерно перегружают левое полушарие. Это очень опасно именно на ранних ступенях школьного обучения и особенно в отношении детей с доминирующим правополушарным типом мышления, а таких детей довольно много, возможно даже подавляющее большинство. В результате мы имеем учебные перегрузки, стрессы и даже неоправданную дебилизацию некоторых учеников, которые начинают отставать в своём интеллектуальном развитии. Широко известно, что переучивание левши может привести к ослаблению его умственных возможностей. Переучивание же «интеллектуального левши» может привести и вовсе к трагическим последствиям. Отсюда можно сделать вывод, и этот вывод уже подтверждён практикой, что при широкой геометризации школьной математики на её начальных ступенях значительно сокращается число отстающих, лучше усваиваются и негеометрические разделы. Сам процесс занятий геометрией уже имеет большое развивающее значение.
Творческое развитие. Если декларирование необходимости интеллектуального развития в качестве одной из целей среднего образования представляется вполне оправданным, то этого нельзя утверждать относительно развития творческого. С точки зрения правящих слоев стабильного общества главной целью образования, определяющей все другие цели, является воспроизводство социальной системы. Перепроизводство творческих личностей — угроза стабильности общества. Это в мере верно в отношении режимов и тоталитарных, и демократических.
Но если в стране стабильность режима сопровождается высоким жизненным уровнем всего населения, то указанная основная цель образования соответствует интересам общества. Впрочем, наверное, ни в одном государстве, будь то КНДР или Франция, в официальных концепциях не говорится, что творческое развитие не является важной целью образования, но на полуофициальном уровне с подобными утверждениями приходится сталкиваться.
Развитие творческих способностей традиционно является одной из важнейших целей российского образования. Возможно, это как раз потому, что в России никогда не было настоящей стабильности. Именно сегодня эта цель особо актуальна. Несколько упрощая проблему, можно сказать, что в основе любого творческого процесса лежит воображение.
Вольтер как-то сказал: «В голове у Архимеда было больше воображения, чем в голове у Гомера». В литературе по методике преподавания геометрии достаточно часто встречается термин «геометрическое воображение». Подобные словосочетания в методиках по другим предметам, в том числе и математическим, не встречаются. Уже на этом основании можно сделать вывод о больших возможностях геометрии для развития творческих способностей. Общая цель — развитие творческих способностей — содержит более конкретную и специальную цель — выявление и обучение одарённых детей, в частности, математически одарённых, и даже ещё уже — геометрически одарённых детей.
Эстетическое развитие. Вся математика, а геометрия в особенности, обладает своеобразной эстетикой. Впрочем, говоря о геометрии, оборот «своеобразный» можно убрать, поскольку геометрическая эстетика видна и понятна любому образованному человеку. Нельзя проникнуть в суть геометрии, если не видеть красоты геометрических форм, формул и формулировок. Говоря о решении геометрических задач, мы часто используем характеристики: красивое решение и некрасивое решение. К красивым мы обычно относим короткие, чисто геометрические решения, а некрасивыми считаем длинные и счётные. Не как-нибудь решить задачу, а решить её красиво — вот цель, которую должен ставить собой любой хорошо геометрически воспитанный человек: и школьник, и профессиональный математик (здесь мы вынуждены сделать определённый упрёк в адрес некоторых победителей олимпиад и их воспитателей).
Причём не ради каких-то конкретных выгод, а ради самой красоты.
Нравственное воспитание. В романе «Война и мир», характеризуя старшего князя Болконского, Николая, Л. Н. Толстой пишет: “Он говорил, что есть только два источника людских пороков: праздность и суеверие, и что есть только две добродетели: деятельность и ум. Он сам занимался воспитанием своей дочери и, чтобы развить в ней обе главные добродетели, давал ей уроки алгебры и геометрии и распределил всю ее жизнь в беспрерывных занятиях”. Зная отношение великого писателя к математике, можно предположить, что здесь Толстой высказывает свое мнение о воспитательном значении математики.
Занятия математикой развивают добродетели, обостряют чувства справедливости и собственного достоинства, воспитывают внутреннюю честность и принципиальность. Замечено, что при тоталитарных режимах нередко возрастает интерес к математике в самых широких слоях общества. Математика даёт людям отдушину в атмосфере страха и унижения, возможность выжить, не вступая в конфликт с совестью. Впрочем, при любом режиме математика привлекательна полной независимостью от каких-то конъюнктур; тем, что математическое знание абсолютно истинно, но всегда неполно и потенциально бесконечно развивается; и тем, что математическое сообщество являет собой пример идеального демократического сообщества.
Несколько лет тому назад российского обывателя вдруг со всех сторон начали пугать образом бездушного технократа, который может прийти к власти. При этом на математиков также смотрели, как на потенциальных технократов. Прошло некоторое время, у власти по-прежнему бездушные люди, среди которых много всяких «кратов», старых и новых, но технократов не видно. Хотим посоветовать всем тем, кто мечтает о власти: как можно меньше занимайтесь математикой и особенно остерегайтесь геометрии. Сама идея доказательства чужда всякой власти. Трудно найти другой такой предмет, чья нравственная основа столь далека от идеи власти, как геометрия.
Нам могут возразить: а Наполеон? Есть даже задача Наполеона, и именно геометрическая. Скорее всего, это миф, созданный льстивыми царедворцами. Властители во все времена, начиная с Нерона и до Ельцина ,хотели прославиться на поприще искусства или науки. Но даже Наполеон и вправду разбирался в геометрии, то это как раз тот случай, когда исключение подтверждает правило. И кроме того, сегодняшних наполеонов можно найти только в психбольницах.
Дополнительные локальные цели начального периода. Одной из важных особенностей настоящего периода человеческой истории является быстрое изменение среды обитания. Настолько быстрое, что человек как биологический вид просто не успевает к ним приспособиться. При этом уже с самого рождения ребёнок попадает в жёсткую и враждебную техногенную среду. Возникает необходимость в средствах, амортизирующих столкновение ребёнка с враждебным миром, компенсирующих недостаток привычных и необходимых для нормального развития видов деятельности. Подобные функции, хотя бы частично, может взять на себя геометрия.
Чтобы нормально развиваться, ребёнку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития ему необходима полноценная интеллектуальная пища. Сегодня геометрия является одним из немногих экологически чистых продуктов, потребляемых в образовании. А по «потребительским» качествам с геометрией не может сравниться никакой другой школьный предмет. Более того, возможно именно геометрия должна сыграть важную роль в сохранении в природе вида homo sapiens, если, конечно, мы желаем этот вид сохранить.
Передоверяя компьютеру многочисленные интеллектуальные функции — память, вычисления, построение изображений, анализ текстов и многое другое, фетишизируя выдаваемые компьютером результаты, человек рискует исчезнуть с лица земли как биологический вид и своё существование уже в качестве homo computeric. Но именно геометрическое мышление пока сопротивляется «всеобщей компьютеризации», именно в области геометрии человек ещё не проиграл интеллектуального соревнования компьютеру. И значит, развитие геометрического мышления является одной из важнейших задач школы, причём с первых классов.
Геометрия обладает также уникальными возможностями для полноценного эмоционального развития ребёнка. (Здесь очень важны правильный отбор содержания и выбор методики.) А как показывают последние исследования, именно эмоциональное развитие образует фундамент для полноценного интеллектуального, творческого и иных видов развития и даже может скорректировать отставание ребёнка в умственном развитии.
еще статьи Математическое образование