МГУ Магистратура Мех-мат

Вариант 2016-08-11

1. Найдите область сходимости ряда $\sum^{\infty}_{n=1}\displaystyle\frac{\cos(nx)-\cos((n+1)x)}{n}$
2. При каких $a$ и $b$ все решения дифференциального уравнения $y''+ay'+by=0$ удовлетворяют соотношению $y=o(e^{-x})$ при $x\to+\infty$?
3. Множество K всех точек $z_1$ комплексной плоскости задается условием $|-z_1i-2i\sqrt{2}|=1$, где $i$ - мнимая единица. L - множество всех точек $z_2$, имеющих вид $z_2=-z_1i$. Найдите расстояние между множествами K и L.
4. Вычислите площадь находящейся в первом квадранте плоской фигуры, ограниченной линиями $y=4-x^2$, $y=3x$, $y=0$.
5. Составьте уравнение сферы, проходящей через окружность $(x+1)^2+(y-2)^2+(z+2)^2=49$, $2x+2y-z+4=0$ и начало координат.
6. Вычислите ранг матрицы $Q$ для всех значений параметра $q$, если $Q = \begin{pmatrix}2& 6& 2& q+1�\\1&q&1&2\\1 &5&q&0�\end{pmatrix}$
7. В гладкую чашу, имеющую форму полусферы радиуса $r$, опущен тонкий стержень длины $L>2r$. Найдите положение равновесия стержня.
8. Существуют ли значения $n\in N$, при котором числа $2^{n+1}-1$ и $2^{n-1}(2^n-1)$ одновременно являются кубами целых чисел?

смотрите еще МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013