Геометрические вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область.
На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой $G$ , а ее площадь $S_G$ . В области $G$ содержится область $g$ площади $S_g$ (рис. 1.1). В область $G$ наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области $G$ с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть $A$ - попадание брошенной точки в область $g$ , тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

$P(A)=\displaystyle\frac{S_g}{S_G}$ . (1.5.1)

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема V_G, содержащую область g объема V_g:

$P(A)=\displaystyle\frac{V_g}{V_G}$ . (1.5.2)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через mes g, а меру области G - через mes G (mes - первые три буквы французского слова mesure, что значит мера); обозначим буквой А событие "попадание брошенной точки в области g, которая содержится в области G". Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой

$P(A)=\displaystyle\frac{mes g}{mes G}$ . (1.5.3)

Пример 1. В круг вписан квадрат (рис 1.2). В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?

Решение.

Введем обозначения: R - радиус круга, а - сторона вписанного квадрата, А - попадание точки в квадрат, S - площадь круга, S₁- площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга $S=\pi\cdot R^2$ . Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой $a=\sqrt{2}\cdot R$ , поэтому площадь квадрата $S_1=2R^2$ .
Полагая в формуле (1.5.1) $S_g=S$ , $S_G=S$ , находим искомую вероятность
$P(A)=\displaystyle\frac{2R^2}{\pi\cdot R^2}=\frac{2}{\pi}\approx 0,637$ .

Пример 2. В квадрат (рис. 1.3) с вершинами в точках O(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству $y>\displaystyle\frac{x}{2}$ .

Решение.

Проведем прямую $y=\frac{x}{2}$ , она пересечет отрезок ML в точке N(1; 1/2). Эта прямая рассекает плоскость на две полуплоскости: для координат точек первой из них (верхней) будет вьmолняться неравенство у > х/2, для второй (нижней) - неравенство у < х/2.
Все точки, принадлежащие квадрату OКLM и координаты которых удовлетворяют неравенству у > х/2, находятся в многоугольнике OКLN. Этот многоугольник состоит из прямоугольника CKLN и треугольника OCN, его площадь S₁ =1/2 + 1/4 =3/4. Площадь S квадрата OКLM равна единице: S = 1. В соответствии с формулой (1.5.1), приняв $S_1=S_g$ , $S=S_G$ , найдем искомую вероятность
$P(A)=\displaystyle\frac{S_1}{S}=\frac{3/4}{1}=\frac{3}{4}=0,75$ .

Пример 3. (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно а. На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины l (l < а). Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?

Решение.

Расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой обозначим через $y$ (рис. 1.4). Угол между отрезком и
лучом, параллельным прямым семейства, начало которого совпадает с верхним концом отрезка, обозначим через $x$ . Очевидно, $0\le y\le a$ и $0\le x\le\pi$ . Для того, чтобы отрезок пересекал хотя бы одну из прямых семейства, необходимо и достаточно, чтобы $y=a$ или $y\le l\sin x$ . Выражение "отрезок брошен наудачу" будем понимать так: точка (х,у) наудачу брошена на прямоугольник: $0\le x\le\pi$ , $0\le y\le a$ . Точки, координаты которых удовлетворяют неравенству $y\le l\sin x$ , образуют фигуру, заштрихованную на рис 1.5.

Площадь этой фигуры $S_1=\int_0^{\pi}l\sin xdx=2l$ .

Площадь всего прямоугольника есть $S=a\pi$ . По формуле (1.5.1), приняв $S_g=S_1$ , $S_G=S$ , найдем искомую вероятность $P(A)=\displaystyle\frac{S_1}{S}=\frac{2l}{a\pi}$ , где А - событие "отрезок пересекается хотя бы с одной прямой".
Пример 4. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

Решение. Введем обозначения: событие А - "попадание точки в куб"; R - радиус шара, а - ребро куба, V - объем шара, V₁ - объем вписанного куба.
Как известно, $V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3$ . Поскольку $V_1=a^3$ и $a=\displaystyle\frac{2R}{\sqrt{3}}$ , то $V_1=\displaystyle\frac{8}{3\sqrt{3}}R^3$ . В соответствии с формулой (1.5.2), приняв $V_g=V_1$ и $V_G=V$ , получим

$P(A)=\displaystyle\frac{V_1}{V}=\frac{8R^3}{4\pi\sqrt{3} R^3}=\frac{2}{\pi\sqrt{3}}\approx 0,368$ .

Задачи

На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное указанными окружностями?
В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.
В квадрат с вершинами O(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенстау y > 2х?
В шар вписана правильная треугольная пирамида. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность попадания точки в пирамиду.
Стержень длиной l произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник?
На плоскости область G ограничена эллипсом $\displaystyle\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$ , а область $g$ - этим эллипсом и эллипсом $\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ . В область $G$ брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область $g$ ?
В прямоугольник с вершинами К(-2, 0), L(-2, 5), М(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты (х, у) будут удовлетворять неравенствам $x^2+1\le y\le 3-x$ ?
В области G, ограниченной эллипсоидом $\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1$ , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты $x$ , $y$ , $z$ этой точки будут удовлетворять неравенству $x^2+y^2+z^2\le4$ ?
В прямоугольник С вершинами R(-2, 0), L(-2,9), М(4, 9), N(4, 0) брошена точка. Найти вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам $0\le y\le 2x-x^2+8$ .
Область $G$ ограничена окружностью $x^2+y^2=25$ , а область $g$ - этой окружностью и параболой $16x-3y^2=0$ . В область $G$ брошена точка. Какова вероятность, что она окажется в области $g$ ?