ЕГЭ 2015 март Репетиционное Демо Математика с ответами и решениями

ЕГЭ 2015 Репетиционное тестирование по математике 11 класс

Контрольные измерительные материалы
для проведения в 2015 году в Свердловской области
репетиционного тестирования
по МАТЕМАТИКЕ
Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы
Работа репетиционного тестирования по математике состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание. Часть 1 содержит 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 8 заданий повышенного уровня сложности, из которых 5 с кратким ответом, а 3 — с развёрнутым, и 4 задания высокого уровня сложности с развёрнутым ответом. На выполнение настоящей работы отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 1 — 14 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов №1. При выполнении заданий 15 — 21 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов №2. Все бланки РТ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Вариант 1

Условия задач с ответами и решениями

Часть 1

1. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 160 г краски. Краска продаётся в банках по 1,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 67 кв. м? Решение

2. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за первые три минуты. Решение

3. При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 7 тонн природного камня и 8 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 5 тонн щебня и 36 мешков цемента. Тонна камня стоит 1500 рублей, щебень стоит 710 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 250 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для фундамента, если выбрать наиболее дешёвый вариант? Решение

4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см² х 1 см² (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Решение

5. Вероятность того, что новый электрический чайник выйдет из строя в течение ближайших двух лет равна 0,32, а вероятность, что он прослужит более 5 лет, равна 0,48. Какова вероятность, что чайник выйдет из строя в промежуток между двумя и пятью годами службы? Решение

6. Решите уравнение $\displaystyle (\frac{1}{2})^{2x-3}=16$ Решение

7. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90 градусов, $CH$ - высота, $BC$ равно 12 и синус угла $A$ равен $\frac{3}{4}$ . Найдите $AH$ Решение

8. На рисунке изображён график $y=f'(x)$ производной функции $y=f(x)$ , определённой на интервале (-8; 4). В какой точке отрезка [-7; -3] функция $y=f(x)$ принимает наименьшее значение? Решение

9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, B₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB = 4, AD = 5, AA₁ = 6. Решение

Часть 2

10. Найдите значение выражения $\displaystyle\frac{-7\sin 178^{o}}{\sin 89^{o}\cdot \sin 1^{o}}$ Решение

11. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала $f_0$ = 140 Гц и определяется следующим выражением: $f=f_0\cdot\displaystyle\frac{c+u}{c-v}$ (Гц), где $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u$ = 14 м/с и $v$ = 10 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости $c$ (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет не менее 150 Гц? Решение

12. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса. Решение

13. Двум переводчикам поручили перевести книгу объёмом 108 страниц на другой язык. Один переводчик взял себе 58 страниц книги, отдав остальные страницы второму. Первый выполнил свою работу за 29 дней, а второй свою — за 20. На сколько страниц меньше должен был взять себе первый переводчик (увеличив число страниц второго), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней? Решение

14. Найдите точку максимума функции $y=(x+2)^2\cdot e^{3-x}$ Решение

15. Дано уравнение $\sqrt{7-8\sin x}=-2\cos x$ . а) Решите уравнение. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\displaystyle (-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{2})$ Решение

16. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S отметили точку M — середину ребра SC. a) Постройте сечение пирамиды SABCD плоскостью , проходящей через точки M, A и D. б) Найдите площадь полученного сечения, если известны рёбра пирамиды AB = 1 и SD = 2. Решение

17. Решите неравенство $\log_{3-x}(x^2-5x+6)\le\displaystyle\frac{\log_{3-x}(x^2-6x+9)+\log_{x+2}(x^2-6x+9)}{\log_{x+2}(x^2-6x+9)}$ Решение

18. Окружность $\omega_1$ касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C cоответственно; M — точка её касания с прямой BC. Окружность $\omega_2$ касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N — точка её касания с прямой BC.

a) Докажите, что BM = CN.
б) Найдите расстояние между центрами окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ , если AC = $\sqrt{17}$ , AB = $\sqrt{19}$ , BC = 6.

19. Каждый год 1 сентября, начиная с 2011 г, гражданин Васильев вкладывает в банк некоторую сумму денег (каждый год одну и ту же) под 10% годовых. Годовые начисляются 1 раз в год 31 августа на всю сумму вклада. Какую сумму вкладывает Васильев ежегодно, если к окончанию дня 31 августа 2014 г на счету Васильева было 72 820 рублей? Предполагается, что никаких финансовых операций, кроме указанных выше, не производилось. Решение

20. Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система $\left\{\begin{array}{l l} \sqrt{x^2+y^2+4x+10y+29}+\sqrt{x^2+y^2+4x+6y+13}=2,\\ y^2+(x-2)^2+6=a\end{array}\right.$ имеет единственное решение. Решение

21. В ряд выписаны числа $1^2,2^2,3^2, ... ,N^2$ . Между ними произвольным образом расставляют знаки "+" и "-" и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться: Решение