Решение пробного ЕГЭ по математике 2015 (март) Профильный уровень 11 класс

Решение пробного ЕГЭ 2015 по математике (март) Профильный уровень 11 класс

ЕГЭ

перейти к условиям задач

  1. Для покраски 67 кв. м необходимо 67\cdot 160 = 10720 г краски. Это 10,72 кг. Значит, количество банок необходимо 10,72 : 1,5 \approx 7,13. Но так как количество банок должно быть целым числом, то округляем, причем в большую сторону, так как округление в меньшую сторону означает, что краски на весь потолок не хватит. Значит, 8 банок.
  2. Одна клетка вдоль оси ординат (это вертикаль) значит 4 г. За первые три минуту функция изменила значение на 3 клетки, что соответствует 12 г. То есть 12 г вступило в реакцию за первые три минуты.
  3. Для каменного фундамента необходимо 7\cdot 1500 +8\cdot 250=12500 р. Для бетонного необходимо 5\cdot 710+36\cdot 250=12550 р. Дешевле будет стоить каменный фундамент.
  4. Похожая задача разбирается здесь (номер B5). Обрамим треугольник прямоугольником так, что все вершины треугольника принадлежат сторонам прямоугольника, а одна вершина еще и совпадает с вершиной прямоугольника. Такой прямоугольник состоит из исходного закрашенного треугольника и еще трех прямоугольных незакрашенных треугольников. Площадь закрашенного можно найти как разность площади прямоугольника и суммы площадей трех незакрашенных: 4\cdot 7 -\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4-\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 7-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 4=\frac{19}{2}
  5. Вероятность того, что чайник выйдет из строя в течение первых пяти лет равна 1-0,48=0,52. И это вероятность равна сумме вероятностей двух несовместных событий: чайник вышел из строя в течение первых двух лет работы и чайник вышел из строя в течение следующих трех лет работы. Тогда 0,32 + p =0,52, откуда p=0,2.
  6. Так как \displaystyle\frac{1}{2}=2^{-1} и (a^n)^m=a^{n\cdot m}, то уравнение принимает вид 2^{3-2x}=16\Leftrightarrow 2^{3-2x}=2^4, то есть 3-2x=4 и x=-0,5.
  7. Синус угла А равен \displaystyle\frac{CB}{AB}=\frac{12}{AB}=\frac{3}{4}, откуда AB равно 16. Так как CB^2=HB\cdot AB (по метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике), то HB равно 9. Значит, AH=16-9=7. Кстати, при нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь.
  8. Если производная положительна на каком-либо интервале, то соответствующая функция на этом интервале возрастает. Поэтому на [-7; -3] y=f(x) возрастает, хотя производная то убывает, то возрастает. А важен только знак производной - и она положительна. Получается, что функция начинает движение с точки x=-7 и далее все время возрастает. Значит, наименьшее значение в точке x=-7. Здесь в решении для простоты объяснения допущены некоторые вольности в фразах.
  9. Многогранник DCBB_1 является треугольной пирамидой с основанием BCD и высотой B_1B. Поэтому его объем равен \displaystyle\frac{1}{3}\cdot BB_1\cdot \frac{1}{2}\cdot BC\cdot CD =\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 6\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5=20.
  10. В решении нам пригодятся формулы приведения и формула для синуса двойного угла. Заметим, что \sin 178^{o}=\sin(180^{o}-2^{o})=\sin 2^{o} и \sin 89^{o}=\sin(90^{o}-1^{o})=\cos 1^{o}. Тогда выражение принимает вид \displaystyle\frac{-7\sin 2^{o}}{\cos 1^{o}\cdot \sin 1^{o}}. Домножим числитель и знаменатель дроби на 2 и тогда к знаменателю применима формула для синуса двойного угла. После сокращения получаем -14.

  11. Поставим известные данные в формулу f=f_o\cdot\frac{c+u}{c-v}. Получим f=140\cdot\frac{c+14}{c-10}. И перейдем к неравенству 140\cdot\frac{c+14}{c-10}\ge 150, которое решим методом интервалов. Перенесем 150 в левую часть, приведем к общему знаменателю дроби и получим в итоге, что \frac{c-346}{c-10}\le 0. Откуда c\in (10; 346] и наибольшее значение c равно 346.
  12. Вспомним две формулы: объем шара равен \frac{4}{3}\pi R^3 и объем конуса равен \frac{1}{3}\cdot \pi R^2 h. Но в данном конусе высота равна радиусу h=R шара, так как центр шара совпадает с центром основания конуса. Значит, \frac{4}{3}\pi R^3=60, откуда \pi R^3 = 45. И объем конуса равен \frac{1}{3}\cdot 45=15.
  13. Производительность первого переводчика равна \frac{58}{29}=2 стр/день, второго - \frac{50}{20}=2,5 стр/день. Если первый возьмет себе x страниц, то второму останется 108-x стр. Так как время работы каждого переводчика одинаково, то \displaystyle\frac{x}{2}=\frac{108-x}{2,5}, откуда x=48. Значит, первый переводчик должен взять себе на 58-48=10 стр меньше.
  14. Производная функции равна y'=2(x+2)e^{3-x}+(x+2)^2e^{3-x}\cdot (-1). Приравниваем ее к нулю и решаем уравнение: 2(x+2)e^{3-x}-(x+2)^2e^{3-x}=0\Leftrightarrow 2(x+2)-(x+2)^2=0 (сократили на положительное выражение e^{3-x} без потери корней). Тогда -x(x+2)=0, откуда x=0 или x=-2. Производная меняет знак с "+" на "-" только в точке x=0.
  15. а) Возведем правую и левую части уравнения в квадрат. Однако, данное преобразование может привести к появлению посторонних корней. Поэтому дополнительно требуем, чтобы -2\cos x \ge 0. Получаем уравнение 7-8\sin x=4\cos^2 x\Leftrightarrow 7-8\sin x=4(1-\sin^2 x)\Leftrightarrow 4\sin^2 x-8\sin x+3=0. Здесь полезно повторить тригонометрические формулы. Решаем данное уравнение как квадратное относительно \sin x. Тогда \sin x=\frac{1}{2}. (второй корень \frac{3}{2}>1). Так как \cos x должен быть неположительным, то x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in Z.
    б) Решим двойное неравенство -\frac{3\pi}{2}< \frac{5\pi}{6}+2\pi n< \frac{3\pi}{2}\Leftrightarrow -9< 5+12n< 9\Leftrightarrow -\frac{7}{6}< n<\frac{1}{3}. Так как n\in Z, то есть целое число, то n=0 или n=-1. Подставляем данные значения в формулу \frac{5\pi}{6}+2\pi n и находим два конкретных угла.
  16. Проведем через точку М прямую, параллельную AD, до пересечения в точке К с прямой SB. Точка К существует, так как прямая AD параллельна плоскости BSC. Тогда ADMK - искомое сечение. В равнобедренном треугольнике SDC известны все стороны, поэтому медиану DM без труда можно найти по формуле m=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)}-c^2 (подробнее смотрите справочник). Медиана равна \frac{\sqrt{6}}{2}. При нахождении каких-либо элементов треугольника себя всегда можно проверить здесь. Тогда в трапеции ADMK известны боковые стороны DM=AK и нижнее основание AD. Верхнее основание KM равно \frac{1}{2}, так как KM - средняя линия треугольника SBC. Осталось найти площадь равнобедренной трапеции, если известны все стороны. Для этого можно из точек K и M провести две высоты KH и MT на AD. Тогда TD равно \frac{1}{4}. И после нахождения высоты по теореме Пифагора в треугольнике MTD применить формулу площади трапеции S=\frac{a+b}{2}\cdot h.
  17. В этом примере полезно вспомнить, что \log_ab-\log_ac можно заменить на эквивалентное по знаку выражение (a-1)(b-c) (и учесть область определения логарифмов, конечно же). Повторить свойства логарифмов. Этот факт пригодится в конце решения. А пока упростим все слагаемые (и помним, что при преобразованиях меняются ограничения на x, которые проверим в конце решения): \log_{3-x}(3-x)+\log_{3-x}(2-x)\le \displaystyle\frac{2\log_{3-x}|x-3|}{2\log_{x+2}|x-3|}+1. Так как 3-x>0 из-за существования логарифма в левой части, то |x-3|=3-x и неравенство принимает вид \log_{3-x}{(2-x)}-\log_{3-x}{(x+2)}\le 0\Leftrightarrow -2x(2-x)\le 0. Откуда с учетом ограничений исходного неравенства получаем ответ. Самое важное: не забыть модуль, когда выносим четную степень; не забыть, что свойство \log_a(bc)=\log_ab+\log_ac применимо только при b>0, c>0. Поэтому при разложении левой части в начале решения разложение квадратного трехчлена именно такое (3-x)(2-x), а не (x-2)(x-3).
  18. Если x -  сумма в рублях, которую Васильев каждый год вкладывает в банк, то 1,1x - сумма через год, 1,1x+x - новый вклад через год, 1,1(1,1x+x) - сумма через два года и так далее. Приходим к равенству 1,1(1,1(1,1x+x)+x)=72820. Решив это линейное уравнение, получим x=20000.
  19. Когда-то давно задачи такого типа часто встречались на вступительных экзаменах в МФТИ. И это радует. Каждую пару (x,y) можно рассматривать как точку на плоскости в заданной системе координат. Тогда система уравнений - это точки пересечения графиков уравнений. Второе уравнение системы y^2+(x-2)^2+6=a является уравнением окружности, если a-6>0. Тогда ее центр находится в точке (2;0), а радиус равен \sqrt{a-6}. Так как a - параметр, то данная окружность имеет фиксированный центр и произвольный радиус, который мы можем регулировать параметром. Необходимо подобрать такой параметр, чтобы окружность пересекла график первого уравнения только в одной точке. Первое уравнение преобразуем к виду \sqrt{(x+2)^2+(y+5)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}=2. Если вспомнить, что расстояние между двумя точками на плоскости может быть найдено по формуле \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}, то становится понятно, почему первое уравнение геометрически означает, что сумма расстояния от точки (-2; -5) до точки (x;y) и расстояния от точки (-2; -3) до точки (x;y) равна 2. Но расстояние между точками (-2; -5) и (-2;-3) равно 2, поэтому точка (x;y) может быть только на отрезке между этими двумя точками. То есть графиком первого уравнения является отрезок. Осталось выбрать такое a, чтобы окружность пересекла отрезок ровно в одной точке.
  20. а) Довольно быстро строится пример: -1+4+9+16+25-36-49+64=32. Вопрос только в фразе "Между ними произвольным образом расставляют знаки", то есть первое число 1^2 не может стать -1^2. Поэтому такой пример, строго говоря, недопустим. Но, наверное, это замечание не стоит учитывать. б) Заметим, что 112= 13\cdot 8. Следовательно, можно изучить серии чисел из восьмерок. Если окажется, что в разбиении на восьмерки числа 112 каждая восьмерка чисел может давать в сумме ноль, то решение найдено. Действительно, такое разбиение существует (это восьмерки последовательных чисел) и знаки в каждой из них можно выбрать такие: +, -, -, +, -, +, +, -.  в) Рассмотреть остаток от деления на 4. 

смотрите еще Досрочный ЕГЭ март, 2015 по математике с ответами и решениями

 

Комментариев 2 к “Решение пробного ЕГЭ по математике 2015 (март) Профильный уровень 11 класс

Комментарии закрыты