Справочник по математике

Метод координат в пространстве

к содержанию справочника

Отрезки

Длина отрезка $AB$, если $A(x_A,y_A,z_A)$ и $B(x_B,y_B,z_B)$

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Если т. $M(x_M,y_M,z_M)$ - середина отрезка $AB$ и $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, то $x_M=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}$, $y_M=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}$ и $z_M=\displaystyle\frac{z_A+z_B}{2}$

Если т. $C(x_C,y_C,z_C)$ делит отрезок $AB$ в отношении $k=\displaystyle\frac{AC}{CB}$, то

$x_C=\displaystyle\frac{x_A+k\cdot x_B}{1+k}$, $y_C=\displaystyle\frac{y_A+k\cdot y_B}{1+k}$ и $z_C=\displaystyle\frac{z_A+k\cdot z_B}{1+k}$

Прямая

Уравнение прямой, проходящей через точки $A(x_A,y_A,z_A)$ и $B(x_B,y_B,z_B)$

$\displaystyle\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$

Каноническое уравнение прямой, проходящей через т.$A(x_0,y_0,z_0)$ параллельно вектору $\overrightarrow{p}(l,m,n)$

$\displaystyle\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через т.$A(x_0,y_0,z_0)$ параллельно вектору $\overrightarrow{p}(l,m,n)$

$\left\{\begin{array}{l l} x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt,\\z=z_0+nt \end{array}\right.$

Прямая как пересечение двух плоскостей

$\left\{\begin{array}{l l} a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \end{array}\right.$

Плоскость

Общее уравнение плоскости

$ax+by+cz+d=0$, где $a^2+b^2+c^2\ne0$

Уравнение плоскости, проходящей через т.$A(x_0,y_0,z_0)$ перпендикулярно вектору $\overrightarrow{n}(n_1,n_2,n_3)$

$n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0$

Уравнение плоскости, проходящей через т.$A(x_0,y_0,z_0)$ параллельно неколлинеарным векторам $\overrightarrow{p_1}(l_1,m_1,n_1)$ и $\overrightarrow{p_2}(l_2,m_2,n_2)$

$\begin{vmatrix}x-x_0& y-y_0&z-z_0 \\l_1&m_1&n_1\\l_2&m_2&n_2 \end{vmatrix}=0$

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой, $A(x_1,y_1,z_1)$, $B(x_2,y_2,z_2)$ и $C(x_3,y_3,z_3)$

$\begin{vmatrix}x-x_1& y-y_1&z-z_1 \\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix}=0$

Уравнение плоскости в отрезках

Если $a,b,c$ - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на осях $Ox$,$Oy$ и $Oz$ соответственно, то

$\displaystyle\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Параметрическое уравнение плоскости, проходящей через т.$A(x_0,y_0,z_0)$ параллельно векторам $\overrightarrow{p_1}(l_1,m_1,n_1)$ и $\overrightarrow{p_2}(l_2,m_2,n_2)$

$\left\{\begin{array}{l l} x=x_0+l_1t_1+l_2t_2,\\ y=y_0+m_1t_1+m_2t_2,\\z=z_0+n_1t_1+n_2t_2 \end{array}\right.$

Расстояние $d$ от точки $A(x_0,y_0,z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$

$d=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Сфера

Уравнение сферы с центром в точке $O(x_0,y_0,z_0)$ и радиусом $R$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$