1. В угол вписаны две касающиеся внешним образом окружности. Длина большей из них равна $12\pi$ см, расстояние от ее центра до вершины угла равно 30 см. Найдите длину меньшей окружности.
2. Центральный угол AOC на 18^o больше соответствующего вписанного угла ABC. Найдите вписанный угол ABC.
3. Около правильного многоугольника описана окружность, и в этот же многоугольник вписана еще одна окружность. Площадь кольца, ограниченного этими окружностями, равна $64\pi$ см². Найдите длину стороны многоугольника.
4. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Найдите АВ и ВС, если угол АВС = 90^o, угол ADC = 60^o, AD = 16 см, CD = 30 см.
5. Вершины треугольника ABC лежат на окружности, AB : BC = 2 : 3. Точка D делит дугу AC пополам. Отрезок BD пересекает сторону AC в точке E. Через точку E проведена хорда KM, причем KE = 4 см, ME = 6 см. Найдите AC
6. Около окружности радиуса $4\sqrt{3}$ см описан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен правильный шестиугольник, в который вписана другая окружность. Найдите ее радиус.
7. Три окружности, радиусы которых 6 см, 2 см и 4 см, касаются друг друга внешним образом. Найдите длину окружности, проходящей через центры данных окружностей.
8. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 12 см, радиус вписанной окружности равен 8 см. Найдите площадь трапеции.
9. Радиус окружности равен 6 см. Найдите длину хорды, которая стягивает дугу, содержащую 90^o
10. Через концы диаметра AB к окружности проведены две касательные AM и BN. Третья касательная пересекает первые две в точках C и D так, что С ∈АМ, D ∈ВN. Найдите радиус окружности, если CA=$2\sqrt{3}$, DB=$\sqrt{3}$.
11. Центр окружности, описанной около трапеции, лежит на одном из оснований этой трапеции. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 4 см, а один из ее углов равен 120^o
12. Длина окружности, описанной около равностороннего треугольника, равна 12π см. Найдите периметр треугольника.
13. Найдите длину окружности, вписанной в правильный шестиугольник, если его периметр равен $12\sqrt{3}$ см.
14. Площадь вписанного в правильный многоугольник круга в 4 раза меньше площади круга, описанного около этого многоугольника. Найдите периметр многоугольника, если его площадь равна $4\sqrt{3}$ см²
15. Хорда окружности равна 24 см, расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, равно 5 см. Найдите длину окружности.
16. В треугольнике ABC проведена медиана BM, ∠ABC=105°, AC=$12\sqrt{2}$ см. Радиус окружности, описанной около треугольника MBC, равен $2\sqrt{6}$ см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM.
17. В окружность радиуса $3\sqrt{3}$ см вписан квадрат. Из одной вершины этого квадрата проведены две хорды, стягивающие дуги по 120^o. Найдите длину отрезка диагонали квадрата, заключенного между этими хордами.
18. Вписанный в окружность угол ACB, равный 75^o, опирается на дугу AB. Радиус окружности равен 6 см. Найдите площадь треугольника AOB (O — центр окружности).
19. Один из углов ромба равен 30^o, сторона ромба равна 4 см. Найдите длину окружности, вписанной в ромб.
20. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60^o, расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого угла равно $4\sqrt{2}$ см. Найдите большую сторону этого треугольника
21. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10 см, 12 см и 10 см.
22. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 4. Отношение длин оснований трапеции равно 2. Найдите площадь трапеции.
23. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 10 см, а основание равно 12 см
24. В квадрат со стороной, равной 8 см, вписана окружность. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
25. Дана окружность, длина которой равна 12π. Найдите площадь сектора круга, ограниченного этой окружностью, если угол этого сектора равен 40°.
26. В треугольнике ABC проведена высота BH. Биссектриса угла A делит высоту BH в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=12.
27. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AB=BC=4, медиана AM=3. Найдите площадь круга с диаметром AC.
28. Дан прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 6 см, а радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 5 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
29. Найдите площадь равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность и точка касания делит боковую сторону на отрезки, равные 4 см и 9 см.
30. В окружности длиной 18π см проведена хорда, равная 9 см. Найдите длину меньшей дуги, стягиваемой этой хордой.
31. В угол A вписана окружность с центром в точке O, которая касается сторон угла в точках B и C. Найдите угол BCO, если ∠A =64^o
32. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Ответы

1. $8\pi$
2. 18^o
3. 16
4. 10;24
5. 10
6. 18
7. 5
8. 288
9. $6\sqrt{2}$
10. $\sqrt{6}$
11. $12\sqrt{3}$
12. $18\sqrt{3}$
13. $6\pi$
14. 12
15. $26\pi$
16. 6
17. 6
18. 9
19. $2\pi$
20. $8(\sqrt{3}+1)$
21. 6,25
22. 72
23. 3
24. $16\pi$
25. $4\pi$
26. 7,5
27. $5\pi/2$
28. 2
29. 156
30. $3\pi$
31. 32^o
32. 72