Решение досрочного ЕГЭ по математике 2015 (март)

Решение досрочного ЕГЭ 2015 по математике (март) 11 класс

ЕГЭ

перейти к условиям задач

  1. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru Стандартный алгоритм: находим производную функции y=33x-30\sin x+29 и приравниваем к нулю. Среди найденных корней уравнения (это нули производной) выбираем лишь те, которые принадлежат отрезку [-\pi/2; 0]. Добавляем к этим корням концевые точки отрезка -\pi/2 и 0. А далее подставляем полученные значения в саму функцию y=33x-30\sin x+29 (не в производную!) вместо x и определяем наибольшее среди получившихся y.
    Это все слова. Давайте конкретнее: y'=(33x)'-(30\sin x)'+29'=33-30\cos x. Для вычисления производной пригодились правила и таблица производных. Из уравнения 33-30\cos x=0 следует, что \cos x=\displaystyle\frac{11}{10}. И кто-то от радости, что получилось простейшее уравнение, начинает применять формулу x=\pm\arccos\displaystyle\frac{11}{10}+2\pi n, n\in Z, не обращая внимание на факт \displaystyle\frac{11}{10}>1. Правильный ответ уравнения: корней нет. Поэтому рассматривать будем лишь концевые точки -\displaystyle\frac{\pi}{2} и 0. При x=0 значение функции (не производной!) y=33\cdot 0-30\sin 0+29=29. При x=-\displaystyle\frac{\pi}{2} значение y=33\cdot (-\displaystyle\frac{\pi}{2})-30\sin(-\displaystyle\frac{\pi}{2})+29=-\displaystyle\frac{33\pi}{2}+59<29. То есть наибольшее значение равно 29.
  2. а) Разложим на множители левую часть уравнения методом группировки: \cos^2 x\cdot (2\cos x-1)+(2\cos x-1)=9\Leftrightarrow (2\cos x -1)(\cos^2 x+1)=0. Произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю. То есть 2\cos x-1=0 или \cos^2 x+1=0. Второе уравнение не имеет корней, так как единица плюс неотрицательное число всегда больше нуля. Из первого уравнения получаем, что \cos x=\displaystyle\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z.
    б) Разобьем формулу x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z на две более простых: 1)x=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z; 2) x=-\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z. Найдем корни из первой формулы, которые принадлежат [2\pi; \frac{7\pi}{2}]. Для этого решим двойное неравенство 2\pi\le \displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \displaystyle\frac{7\pi}{2} \Leftrightarrow 12\le 2+12n\le 21 (после сокращения на \pi и избавления от знаменателя)\Leftrightarrow \displaystyle\frac{5}{6}\le n\le \displaystyle\frac{19}{12}. Так как n\in Z, то есть по-русски n - целое число (что это такое, смотрите здесь), то n=1. Тогда после подстановки в первую формулу получаем угол \displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi=\displaystyle\frac{7\pi}{3}.
    Аналогично поступаем со второй формулой: 2\pi\le -\displaystyle\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \displaystyle\frac{7\pi}{2}\Leftrightarrow \displaystyle\frac{7}{6}\le n\le \displaystyle\frac{23}{12}. Данному неравенству никакое целое n не удовлетворяет. Значит, итоговый ответ пункта б): \displaystyle\frac{7\pi}{3}.
  3. Проведем прямую через точку K параллельно BD_1 до пересечения с прямой B_1D_1 в точке F (смотрите рисунок). Точка F существует, так как точки K, B, D_1 и B_1 лежат в одной плоскости. Через точки F и C_1 проведем прямую до пересечения с ребром A_1B_1 в некоторой точке. Именно в этой точке плоскость \alpha пересекает ребро A_1B_1, то есть это точка P .  Треугольники KB_1F и BB_1D_1 подобны, значит, B_1F:FD_1 = 2:3. Рассмотрим на плоскости грань A_1B_1C_1D_1 (смотрите второй рисунок).ЕГЭ
    Продлим C_1P до пересечения с продолжением A_1D_1 в точке T. Треугольники TFD_1 и FB_1C_1 подобны, значит, B_1F:FD_1=B_1C_1:TD_1, то есть 2:3=5:TD_1, откуда TD_1=\displaystyle\frac{5}{2}. Тогда TA_1=\displaystyle\frac{5}{2}-5=\displaystyle\frac{5}{2}. Осталось заметить подобие треугольников TPA_1 и PB_1C_1, из которого следует, что A_1P:PB_1=TA_1:B_1C_1, то есть A_1P:PB_1=1:2ЕГЭ 2015
    б) Объем большей части найдем как разность объема куба и меньшей части. Объем куба равен 125. Меньшая часть является треугольной пирамидой KPB_1C_1, объем которой можно найти по формуле \displaystyle\frac{1}{3}S_{KB_1P}\cdot B_1C_1. Известно из условия, что B_1C_1 равно 5, B_1K равно 2,  а из пункта а), что PB_1 равно \displaystyle\frac{10}{3}. Тогда искомый объем равен 125-\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 5\cdot\frac{2\cdot \frac{10}{3}}{2} = \frac{1075}{9}.
  4. Материал сайта www.itmathrepetitor.ru Сразу заметим, что \log_{0,5}(4+3x-x^2)=-\log_2(4+3x-x^2). Тогда после замены t=\log_2(4+3x-x^2) неравенство принимает вид t^2-7t+10>0. Данное неравенство можно решить методом интервалов, для этого разложим левую часть на множители (t-5)(t-2)>0. Конечно, стоит научиться решать квадратные неравенства почти устно. В общем, t\in (-\infty; 2)\cup (5; +\infty). Вернемся к переменной x и запишем данный ответ в виде совокупности двух неравенств \log_2(4+3x-x^2)>5 и \log_2(4+3x-x^2)<2.
    Рассмотрим первое неравенство. Так как 5=\log_2{32}, то оно равносильно неравенству 4+3x-x^2>32\Leftrightarrow x^2-3x+28<0. Данное неравенство не имеет решений, так как квадратный трехчлен не имеет корней и коэффициент при x^2 больше нуля (то есть квадратный трехчлен принимает только положительные значения).
    Рассмотрим второе неравенство. Оно равносильно системе неравенств \left\{\begin{array}{l l} 4+3x-x^2<4,\\ 4+3x-x^2>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l l} x(x-3)>0,\\ (x-4)(x+1)<0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l l} x\in (-\infty; 0)\cup (3;+\infty),\\ x\in (-1;4)\end{array}\right.. Тогда x\in(-1;0)\cup (3;4).
  5. а) Пусть точки T и R - точки касания окружности со сторонами AB и AD соответственно. Точка F - точка касания окружности с прямой MN. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, TM = MF, FN = NR и AT=AR. Тогда P_{MAN}=MA+MF+FN+AN=MA+TM+NR+AN=TA+AR=2TA. Но TA равно половине стороны квадрата. Значит, P_{MAN} равен стороне квадрата.

смотрите еще Репетиционный вариант ЕГЭ март, 2015

 

Комментариев 3 к “Решение досрочного ЕГЭ по математике 2015 (март)

  1. B1F:FD1=2:3
    Тут,наверное,должно быть B1D1 вместо FD1?(16 задание)или я ошибаюсь?

  2. В 16 можно было сразу заметить, что треугольник B1PF и C1FD1 подобны и не устраивать возни с продлением, найти B1P (10/3), что составляет 2/3 от B1A1, и далее получить искомое отношение 2/1.

Комментарии закрыты