Задачи по теории вероятностей

1. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают нау­гад один шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый
2. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
3. Из урны, содержащей a белых и b черных шаров, вынима­ют один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белым.
4. В урне a белых и b черных шаров (а >= 2). Из урны вынима­ют сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут бе­лыми.
5. В урне a белых и b черных шаров (а > 2, b > 3). Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три черными.
6. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: А — появление четного числа очков; В — по­ явление не менее 5 очков; С— появление не более 5 очков.
7. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков.
8. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти ве­роятности следующих событий:
   А — сумма выпавших очков равна 8;
   В — произведение выпавших очков равно 8;
   С— сумма выпавших очков больше, чем их произведение.
9. Из урны, содержащей n перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти ве­роятность того, что номера вынутых шаров будут идти по поряд­ку: 1, 2,..., n.
10. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с дру­гими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что бу­дет записана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., n.
11. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в поряд­ке появления, затем читается полученное число, например 07(семь), 14 (четырнадцать) и т. п. Найти вероятность того, что чис­ло будет четным.
12. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.
13. В урне a белых, b черных и c красных шаров. Из урны вы­нимают один за другим все находящиеся в ней шары и записыва­ют их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белый цвет появится раньше черного.
14. Имеется две урны: в первой a белых и b черных шаров; во второй c белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
15. Имеется две урны: в первой a белых и b черных шаров; во второй c белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут разных цветов.
16. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «книга».
17. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «ананас».

Ответы

1. a/(a+b)
2. (a-1)/(a+b-1)
3. a/(a+b)
4. a(a-1)/((a+b)(a+b-1))
5. $C_a^2C_b^3/C_{a+b}^5$
6. 1/2; 1/3; 5/6
7. 1/6
8. 5/36; 1/18; 11/36
9. 1/n!
10. 1/n^n
11. 5/9
12. 1/2
13. a/(a+b)
14. ac/((a+b)(c+d))
15. (ad+bc)/((a+b)(c+d))
16. 1/120
17. 1/60