Сканави М.И.
Задачи по планиметрии с ответами и решениями

перейти к содержанию

Группа А. Задачи 51 - 100 (с ответами и решениями)

51. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определить отношение площадей этих сегментов. Ответ: $(4\pi-3\sqrt{3})/(8\pi+3\sqrt{3})$  Решение

52. Круг, радиус которого равен R, разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь меньшего из этих сегментов. Ответ: $R^2(\pi-2)/4$ Решение

53. В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного вписанного треугольника, а другая — стороне правильного вписанного шестиугольника. Определить площадь части круга, содержащейся между хордами. Ответ: $(\pi+\sqrt{3})R^2/2$  Решение

54. Три окружности радиусов R₁= 6 см, R₂ = 7 см, R₃ = 8 см попарно касаются друг друга. Определить площадь треугольника, вершины которого совпадают с центрами этих окружностей. Ответ: 84 Решение

55. Каждая из трех равных окружностей радиуса r касается двух других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям. Ответ: $2r^2(2\sqrt{3}+3)$ Решение

56. В круг радиуса R вписаны два правильных треугольника так, что при их взаимном пересечении каждая из сторон разделилась на три равных отрезка. Найти площадь пересечения этих треугольников. Ответ: $R^2\sqrt{3}/2$ Решение

57. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного квадрата, а для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найти расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен r (рассмотреть два возможных случая расположения окружностей). Ответ: $r(\sqrt{6}+\sqrt{2})/2, r(\sqrt{6}-\sqrt{2})/2$ Решение

58. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два возможных случая). Ответ:  $a(3+\sqrt{3})/6, a(3-\sqrt{3})/6$ Решение

59. Одна из двух параллельных прямых касается окружности радиуса R в точке А, а другая пересекает эту окружность в точках В и С. Выразить площадь треугольника ABC как функцию расстояния х между прямыми. Ответ: $x\sqrt{2Rx-x^2}$  Решение

60. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 8; 15 Решение

61. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см. Найти катеты треугольника. Ответ: 6; 8 Решение

62. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен 6 см. Найти стороны треугольника. Ответ: 18, 24, 30 Решение

63. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника. Ответ: 60 Решение

64. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен а. Ответ: $2a^2/3; 3a^2/8$ Решение

65. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20 см. Найти площадь треугольника и длину вписанной полуокружности. Ответ: 294; $12\pi$ Решение

66. На большем катете треугольника как на диаметре построена полуокружность. Найти ее длину, если длина меньшего катета 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и полуокружности, равна 24 см. Ответ: $20\pi$ Решение

67. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если длины катетов равны 5 и 12? Ответ: 65/18 Решение

68. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а один из катетов равен 10 см. Ответ: 7,25 Решение

69. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник. Ответ: 5 Решение

70. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник. Ответ: $\pi(p-c)^2$ Решение

71. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 м. Ответ: $25\pi$ Решение

72. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 и 14,4 см. Ответ: $64\pi$ Решение

73. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его равна 24 см². Найти площадь описанного круга. Ответ: $25\pi$ Решение

74. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найти расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности. Ответ: $\sqrt{5}$ Решение

75. Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противоположного острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а. Ответ: $a(2-\sqrt{2})$ Решение

76. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, к высоте, проведенной к гипотенузе. Ответ:  $\sqrt{2}-1$ Решение

77. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сторон этих треугольников. Ответ: 3, 4, 5 Решение

78. Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, равна 25 см, а радиус вписаннной окружности равен 8 см. Найти длину основания треугольника. Ответ: 80/3 Решение

79. В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и боковой стороной а вписана окружность. Найти радиус этой окружности. Ответ: $a\sqrt{3}(2-\sqrt{3})/2$  Решение

80. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга. Ответ: 10 Решение

81. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°,  если радиус вписанного круга равен $\sqrt[4]{12}$ см. Ответ: $2(7+4\sqrt{3})$ Решение

82. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Ответ: 8/3, 25/3, 5 Решение

83. Найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая сторона 13 см. Ответ: $285,61\pi$ Решение

84. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника. Ответ: 3 Решение

85. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенной к основанию треугольника, равна 3 см. Ответ: 20/3 Решение

86. Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках В к С так, что треугольник ABC — равносторонний. Найти его площадь. Ответ: $3R^2\sqrt{3}/4$ Решение

87. Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна $Q^2$. Доказать, что радиус окружности равен $2Q\cdot\sqrt[4]{3}/3$.

88. В окружность, диаметр которой равен $\sqrt{12}$, вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти радиус этой окружности. Ответ:  3/4 Решение

89. В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если сторона треугольника равна а. Ответ: $\pi a^2/4$ Решение

90. Каждая сторона правильного треугольника разделена на три равные части, и соответственные точки деления, считая в одном направлении, соединены между собой. В полученный правильный треугольник вписана окружность радиуса r = 6 см. Определить стороны треугольников. Ответ: $12\sqrt{3}; 36$ Решение

91. Дан правильный треугольник ABC. Точка K делит сторону АС в отношении 2:1, а точка М — сторону АВ в отношении 1:2 (считая в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

92. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r. Ответ: $6r\sqrt{3}$ Решение

93. На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга. Ответ: $R^2(3\sqrt{3}-\pi)/6$ Решение

94. На диаметре 2R полукруга построен правильный треугольник, стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей треугольника, лежащих вне и внутри круга? Ответ: $(3\sqrt{3}-\pi)/(3\sqrt{3}+\pi)$ Решение

95. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найти площадь треугольника. Ответ: $R^2\sqrt{3}/4$ Решение

96. Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в треугольник кругов. Ответ:  $(65/32)^2$ Решение

97. В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4. В него вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти отношение площади полукруга к площади треугольника. Ответ: $3\pi\sqrt{15}/50$ Решение

98. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника. Ответ: $8; 10$ Решение

99. Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15 см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см. Ответ: 1700 Решение

100. Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из его сторон равно отношению высоты, проведенной на эту сторону, к радиусу вписанной окружности.