Задачи на прямоугольник, ромб, квадрат

к содержанию задачника

В прямоугольнике, длины сторон которого равны 8 и 2, проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения. Найдите площадь четырехугольника, который образован биссектрисами. ответ: 18
Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит ее в отношении 1 : 3. Найдите длину диагонали, если известно, что точка ее пересечения с другой диагональю находится от большей стороны на расстоянии 4. ответ: 16
В прямоугольнике АВCD биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке Е, а прямую DA в точке F. Найдите площадь прямоугольника, если СЕ равно 4 и CF равно 6. ответ: 12
Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD равны 12 и 16 соответственно. Окружности, вписанные в треугольники АВС и ADC, касаются диагонали АС в точках К и Т. Найдите расстояние между точками К и Т. ответ: 4
Длины сторон АВ и ВС прямоугольника ABCD равны 12 и 5 соответственно. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей О до центра окружности, вписанной в треугольник AOD. ответ: 13/3
В прямоугольнике ABCD длины сторон AB и ВС равны 6 и 8 соответственно, а диагонали пересекаются в точке О. Окружности, вписанные в треугольники АОВ и DOC, касаются диагонали DB в точках К и Е. Найдите длину отрезка КЕ. ответ: 4
В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Периметры треугольников AOD и DOC равны $p_1$ и $p_2$ соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AOD, если радиус окружности, вписанной в треугольник DOC, равен $r_2$ . ответ: $p_2r_2/p_1$
Площадь круга, вписанного в ромб, равна половине площади ромба. Найдите синус угла при вершине ромба. ответ: $2/\pi$
На сторону ВС ромба ABCD опущена высота DK. Диагональ АС пересекает высоту DK в точке М так, что DM : MK = 13 : 7. Найдите DK, если известно, что АК равно 17. ответ: $2\sqrt{30}$
В ромб, сторона которого равна $a$ и острый угол равен 60^о, вписана окружность. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с точками, в которых окружность касается сторон ромба. ответ: $3\sqrt{3}a^2/16$
Периметр ромба равен $2p$ , а длины диагоналей находятся в отношении $m : n$ . Найдите площадь ромба. ответ: $\frac{mnp^2}{2(m^2+n^2)}$
Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба. ответ: 150
Найдите площадь ромба ABCD с острым углом $\alpha$ , если радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, равен $a$ . ответ: $\frac{4a^2(1+\sin(\alpha/2))^2}{\sin\alpha}$
Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали, равновелик кругу радиуса R. Найдите сторону ромба. ответ: $R\sqrt{2\pi/\sqrt{3}}$
Из вершины В острого угла ромба ABCD проведены перпендикуляры ВЕ и ВК к прямым CD и AD соответственно. Длина каждого перпендикуляра равна 3, а длина отрезка КЕ равна $3\sqrt{3}$ . Найдите диагональ ромба. ответ: 6; $2\sqrt{3}$
Диагонали АС и BD ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите площадь ромба, если известно, что высота ромба равна 24, а радиус окружности, вписанной в треугольник ВОС, равен 5. ответ: 600
Длина стороны ромба ABCD равна 15. Найдите диагонали ромба, если известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 4. ответ: 18; 24
Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Найдите высоту ромба, если известно, что площадь треугольника ВОС равна 24, и периметр этого треугольника равен 24. ответ: 48/5
Площадь ромба равна S, а диагонали находятся в отношении m : n. Найдите сторону ромба. ответ: $\sqrt{\frac{S(m^2+n^2)}{2mn}}$
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Полуокружность, построенная на отрезке ВО как на диаметре, пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите площадь ромба, если ОЕ равно 12, АС равно 30. ответ: 600