Задачи по школьной математике. Трапеция

  1. Наибольший   угол  прямоугольной   трапеции  равен 120◦, а большая боковая сторона равна c. Найдите разность оснований.

  2. Диагонали  трапеции  взаимно  перпендикулярны,   а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середи­ны оснований.

  3. Высота равнобокой трапеции, проведенная из конца меньшего основания, делит ее большее основание на отрезки, равные 4 и 8. Найдите основания трапеции.

  4. Найдите меньшее основание равнобокой трапеции, ес­ли высота, проведенная из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше другого.

  5. Боковая сторона равнобокой трапеции видна из точ­ки пересечения диагоналей под углом, равным 60◦. Найдите диагонали трапеции, если ее высота равна h.

  6. В равнобокой трапеции острый угол равен 60◦. Дока­жите, что меньшее основание равно разности большего основа­ния и боковой стороны.

  7. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 3, а большая образует угол, равный 30◦, с одним из осно­ваний. Найдите это основание, если на нем лежит точка пересе­чения биссектрис углов при другом основании.

  8. Докажите, что биссектрисы углов при боковой сто­роне трапеции пересекаются на ее средней линии.

  9. Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектри­сы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D - в точке Q. Докажите, что отрезок PQ равен полупериметру трапеции.

  10. Основания трапеции равны a и b (a > b). Най­дите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей тра­пеции.
  11. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120◦, большее основание равно 12. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна ее большему основанию.
  12. Найдите   отношение   оснований   трапеции,   если  ее средняя линия делится диагоналями на три равные части.
  13. Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого. Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.
  14. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Од­на из них равна 6, а вторая образует с основанием угол, рав­ный 30◦. Найдите среднюю линию трапеции.
  15. Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединя­ющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основа­нии трапеции равны 30◦ и 60◦. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.
  16. Одна из боковых сторон трапеции равна сумме ос­нований. Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
  17. Отрезок,   соединяющий  середины  двух противопо­ложных сторон четырехугольника, равен полусумме двух дру­гих сторон. Докажите, что этот четырехугольник - трапеция или параллелограмм.
  18. Прямая,   проведенная   через  вершину  трапеции ABCD параллельно диагонали BD, пересекает продолжение основания AD в точке M. Докажите, что треугольник ACM равновелик трапеции ABCD.
  19. Боковые стороны трапеции лежат на перпендикуляр­ных прямых. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах диагоналей и серединах оснований, если боковые стороны равны a и b.
  20. Основания AD и BC трапеции ABCD равны соот­ветственно a и b. Диагональ AC разделена на три равные части и через ближайшую к A точку деления M проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, за­ключенный между диагоналями.
  21. Площадь трапеции равна 27, основания 8 и 16. Най­дите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.
  22. Большее основание равнобедренной трапеции равно 21, боковая сторона ее 10, а диагональ 17. Определите площадь трапеции.
  23. Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b (a>b). Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии трапеции. Найдите длину отрезка MN, концы которого делят стороны AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = p : q.
  24. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка Р так, что АР : AD = 1 : n. Точка Q - точка пересечения прямых AC и BP. Найдите AQ : AC.
  25. На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая АК пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что AK2 = LK \cdot KM.
  26. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой боковая сторона, верхнее основание и средняя линия равны 13, 6 и 15 соответственно.
  27. Периметр равнобедренной трапеции равен 36, а средняя линия - 10. Найдите боковую сторону.
  28. Средняя линия равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD равна 18. Найдите высоту трапеции, если BC : AD = 1 : 5, а боковая сторона равна 15.
  29. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48. Определите боковую сторону трапеции.
  30. Диагональ равнобедренной трапеции делит среднюю линию на две части, равные 2 и 5. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 5.
  31. В равнобедренной трапеции основания равны 6 и 10. Диагональ равна 10. Найдите площадь трапеции.
  32. В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 8 и 12.
  33. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 10. Диагональ наклонена к основанию под углом 45о. Найдите площадь трапеции.
  34. Диагональ прямоугольной трапеции равна ее боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции, если ее высота равна 4, а боковая сторона равна 5.
  35. В прямоугольной трапеции разность длин оснований равна 4, а большая боковая сторона равна 5. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
  36. Меньшее основание трапеции равно 4. Большее основание больше средней линии на 4. Найдите среднюю линию.
  37. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 52, высота равна 48, средняя линия равна 30. Найдите ее большее основание.
  38. Прямая CF параллельна боковой стороне трапеции и делит основание AD на отрезки AF = 9 и FD = 5. Найдите среднюю линию трапеции.
  39. В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD продлены до пересечения в точке E.  Найдите EC, если AB = 1, CD = 3 и BE = 2.
  40. Углы при основании трапеции равны 90о и 45о. Одно основание в два раза больше другого и равно 24. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
  41. Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 3. Синус угла при основании трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону трапеции.
  42. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 4. Площадь трапеции равна 8. Найдите тангенс угла между диагональю и основанием трапеции.