Задачи по школьной математике. Окружность

  1. Центральный угол АОВ на 30о больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
  2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) AE = 5, BE = 2, CE = 2,5; б) AE = 16, BE = 9, CE = ED; в) AE = 0,2, BE = 0,5, CE = 0,4.
  3. Докажите, что дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
  4. Докажите, что хорда, перпендикулярная диаметру, длится точкой пересечения пополам.
  5. В окружности с центром в точке О проведены два радиуса ОА и ОВ так, что расстояние от точки А до радиуса ОВ в два раза меньше длины радиуса. Найдите градусную меру вписанного угла, опирающегося на дугу АВ.
  6. МА и МВ - хорды окружности с центром в точке О. Угол АМВ равен 30о.  Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 10.
  7. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Известно, что АЕ : ЕВ = 1 : 3, CD =20, DE = 5. Найдите  АВ.
  8. АВ - диаметр окружности. Точке Е лежит на окружности, ЕF перпендикулярно AB, FB = 4, EF = 6. Найдите радиус окружности.
  9. Две хорды окружности взаимно перпендикулярны. Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.
  10. В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды. Каждая из них делится другой хордой на отрезки, равные a и (a < b). Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.
  11. BM и CN - высоты треугольника ABC. Докажите, что точки B, N, M и C лежат на одной окружности.
  12. Через точку A, лежащую на окружности, проведены диаметр AB и хорда AC, причем AC = 8 и угол BAC = 30◦. Найдите хорду CM, перпендикулярную AB.
  13. Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные 12 и 16. Най­дите расстояния от центра окружности до этих хорд.
  14. На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипоте­нузу AB в точке K. Найдите CK, если AC = 2 и угол A = 30◦.
  15. В окружности проведены хорды AB и CD. Расстоя­ние между равными параллельными хордами AB и CD равно радиусу окружности. Найдите угол между пересекающимися прямыми AC и BD.
  16. Продолжения хорд AB и CD окружности с диамет­ром AD пересекаются под углом 25◦. Найдите острый угол меж­ду хордами AC и BD.
  17. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу пополам. Най­дите углы треугольника.
  18. Две прямые касаются окружности с центром O в точ­ках A и B и пересекаются в точке C. Найдите угол между этими прямыми, если угол ABO = 40◦.
  19. Две прямые, пересекающиеся в точке C, касаются окружности в точках A и B. Известно, что угол ACB = 120◦. До­кажите, что сумма отрезков AC и BC равна отрезку OC.
  20. Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром вписанной окружности. Найдите углы тре­угольника.
  21. Точка D - середина гипотенузы AB прямоугольно­го треугольника ABC. Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD в его середине. Найдите острые углы треугольника ABC.
  22. Окружность вписана в треугольник со сторонами, равными a, b и c. Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную a.
  23. Окружность вписана в пятиугольник со сторонами, равными a, b, c, d и e. Найдите отрезки, на которые точка каса­ния делит сторону, равную a.
  24. Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если угол AOD равен 110◦.
  25. Докажите, что если окружность касается всех сто­рон четырехугольника, то суммы противоположных сторон че­тырехугольника равны между собой.
  26. В острый угол, равный 60◦, вписаны две окружно­сти, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.
  27. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через вершину B и середину стороны BC. Найдите углы параллелограмма.
  28. Дана окружность с центром в точке O и радиусом 2. Из конца отрезка OA, пересекающегося с окружностью в точ­ке M, проведена касательная AK к окружности (K - точка касания), угол OAK = 60◦. Найдите радиус окружности, касаю­щейся отрезков AK, AM и дуги MK.
  29. К двум окружностям, касающимся внешним образом в точке C, проведена общая внешняя касательная, A и B - точки касания. Найдите радиусы окружностей, если AC = 6, ВС = 8.
  30. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг дру­га внешним образом. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей.
  31. Окружность с центром на гипотенузе прямоугольно­го треугольника касается катетов. Найдите радиус окружности, если катеты равны a и b.
  32. Окружность касается стороны треугольника, рав­ной a, и продолжения двух других сторон. Докажите, что ради­ус окружности равен площади треугольника, деленной на раз­ность между полупериметром и стороной a.
  33. В треугольник АВС со сторонами АВ = с, ВС = а, АС = b вписана окружность, и к ней проведена касательная, пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в точках М и N. Найдите периметр треугольника MBN.
  34. В треугольник с периметром 20 вписана окружность. Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основанию, заключенной между сторонами треугольника, равен 14/5. Найдите основание треугольника.
  35. Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Докажите, что радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2
  36. Вписанный угол на 20о меньше центрального угла, опирающегося на ту же хорду. Найдите эти углы.
  37. Хорды AB и CD пересекаются в точке О так, что непересекающиеся дуги AC и BD соответственно равны 40о и 60о. Найдите угол АОС.
  38. Из точки В, взятой на окружности, проведены диаметр ВС и хорда ВА, которая стягивает дугу в 46о. Найдите угол между диаметром и хордой.
  39. Хорды AB и BC взаимно перпендикулярны. Найдите угол ВСА, если хорда BC стягивает дугу в 53о.
  40. Расстояние от центра окружности до хорды равно 7\sqrt{2} и вдвое меньше длины хорды. Найдите радиус окружности.
  41. Внутри окружности на расстоянии 15 от центра дана точка. Хорда делится этой точкой на отрезки 7 и 25. Найдите радиус хорды.
  42. В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки длиной 18 и 32. Найдите длину хорды CD.
  43. Диаметр AB пересекает хорду CD  и делит ее на два отрезка, равных 6. Найдите ВС, если радиус окружности равен 6,25.
  44. Внутри окружности радиуса 13 дана точка М, которая удалена от центра окружности на 5. Через точку М проведена хорда АВ длиной 25. Найдите отрезки, на которые хорда АВ делится точкой М.
  45. К окружности из точки А проведены касательная АВ и секущая  ACD. Найдите хорду CD, если отрезки AB и AD соответственно равны 6 и 9.
  46. На касательной к окружности по обе стороны от точки касания отмечены точки А и В, удаленные от центра окружности на расстояние, равное 20. Найдите радиус окружности, если отрезок АВ равен 32.
  47. Через точку В проведены касательная ВС и секущая BDA к окружности с диаметром АС. Найдите CD, если AB равно 16 и площадь треугольника АВС равна 8.
  48. Из точки А проведены две касательные к окружности, радиус которой равен 6. Найдите расстояние от точки А до хорды соединяющей точки касания, если угол между касательными равен 120о.
  49. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены касательная АВ и секущая CD. Найдите АВ, если радиус окружности равен 5, расстояние от центра окружности до хорды CD равно 3 и АС равно 1.
  50. Через точку, лежащую вне окружности, проведены секущая и две касательные. Сумма длин касательных равна 24. Найдите длину внешнего отрезка секущей, если длина ее внутреннего отрезка равна 10.