Задачи на окружность

к содержанию задачника

Окружность радиуса 2 внешне касается другой окружности в точке А. Общая касательная двух окружностей, проведенная через точку А, пересекается с другой их общей касательной в точке В. Найдите радиус другой окружности, если длина отрезка АВ равна 4. ответ: 8
В окружности перпендикулярно диаметру АВ проведена хорда CD. Точка их пересечения делит диаметр на отрезки 18 и 32. Найдите длину хорды CD. ответ: 48
Внутри окружности, радиус которой равен 13, дана точка М, которая находится от центра на расстоянии 5. Через точку М проведена хорда АВ, равна 25. Найдите произведение длин отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М. ответ: 144
Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, которая проходит через центр другой окружности. При этом расстояние от точки касания до центра другой окружности равно диаметру другой окружности. Найдите отношение площадей соответствующих кругов. ответ: 9:4
В угол вписаны две окружности, которые касаются внешним образом. Найдите величину угла, если радиусы окружностей равны 2 и 4. ответ: $2\arcsin(1/4)$
В равнобедренный треугольник вписаны одна над другой две окружности радиусов 3 и 1, которые касаются одна другой. Найдите угол при основании треугольника. ответ: 60^o
Две окружности радиусов 3 и 2 касаются внутренним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух первых окружностей и их линии центров. ответ: 24/25
Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Секущая пересекает окружность в двух точка C и D (AC > AD). Найдите радиус окружности, если АС = 32, расстояние от точки А до точки касания равно 16, а от центра окружности до секущей - 5. ответ: 13
Хорда окружности равна 5. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой - секущая, параллельная касательной. Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 6. ответ: 25/8
В окружности радиуса $a$ проведена хорда длиной $a/2$ . Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой - секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей. ответ: a/8
Через концы дуги окружности, которая содержит 120^о, проведены касательные, а в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Найдите длину этой окружности, если радиус данной дуги равен R. ответ: $2\pi R/3$
Две окружности радиусов 4 и 2 касаются внешне в точке М. На окружности меньшего радиуса взята точка T, диаметрально противоположная точке М, и в этой точке построена касательная. Найдите радиус окружности, которая касается двух данных окружностей и касательной. ответ: 6; 3
В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три меньшие окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньших окружностей равен 3. ответ: 9
Внутри окружности радиуса 15/2 взята точка Р на расстоянии 13/2 от центра. Через точку Р проведена хорда длиной 9. Найдите длины отрезков, на которые точка Р делит хорду. ответ: 7; 2
Внутри окружности дана точка на расстоянии 15 от центра: через эту точку проведена хорда, которая делится ею на две части длиной 7 и 25. Найдите радиус окружности. ответ: 20
В круговой сектор с центральным углом 60^о вписана окружность. Найдите радиус вписанной окружности, если радиус данного сектора равен R. ответ: R/3
Две окружности радиусов 16 и 9 касаются внешне в точке С. К окружностям проведена общая внешняя касательная АВ, где А и В - точки касания. Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает АВ в точке Т. Найдите длину отрезка СТ. ответ: 12
В круговой сектор, дуга которого содержит 60^о, вписан круг. Найдите отношение площади этого круга к площади сектора. ответ: 2/3
Найдите площадь круга, который вписан в сектор круга радиуса R с хордой $2a$ . ответ: $\pi a^2 R^2/(R+a)^2$
Около квадрата, сторона которого $a$ , описана окружность. В один из сегментов, которые при этом образовались, вписан квадрат. Найдите сторону этого квадрата. ответ: $a/5$
Найдите радиус окружности, вписанной в сектор, радиус которого равен $r$ , если его дуга содержит $\alpha$ градусов. ответ: $r\sin(\alpha/2)/(1+\sin(\alpha/2))$
К двум окружностям радиусов 4 и 1 проведены внешняя касательная АВ и внутренняя касательная CD (A, B, C и D - точки касания). Найдите длину отрезка CD, если AB равно 8. ответ: $4\sqrt{3}$
Из точки О к окружности проведены касательные ОА и ОВ (А и В - точки касания). Точка М окружности находится от прямых ОА и ОВ на расстоянии $a$ и $b$ соответственно. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ. ответ: $\sqrt{ab}$
В данный угол вписаны три окружности, средняя из которых касается двух других окружностей радиусов $R_1$ и $R_2$ . Найдите радиус средней окружности. ответ: $\sqrt{R_1R_2}$
Окружности радиусов 4 и 8 с центрами в точках О и Р пересекаются в точках С и D. Прямая АВ - их общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника АОРВ, если известно, что касательные к окружностям, проведенные в точке С, взаимно перпендикулярны. ответ: 48
Две окружности радиуса R с центрами в точках О и Р касаются внешним образом. Прямая пересекает эти окружности в точках A, B, C и D так, что AB = BC = CD. Найдите площадь четырехугольника OADP. ответ: $5R^2\sqrt{3}/4$
Две окружности радиусов R и r касаются внешне. К ним проведена общая внешняя касательная. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания. ответ: $\frac{8Rr\sqrt{Rr}}{R+r}$
В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием AB = $a$ и острым углом при вершине $\alpha$ . Другая окружность касается первой и основания треугольника в ее середине К и расположена вне треугольника. Найдите радиус другой окружности. ответ: $a/(4ctg(\alpha/2))$
Две окружности внешне касаются в точке А, прямая ВС - их общая внешняя касательная. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ равно $a$ , АС равно $b$ . ответ: $ab/2$
Две равные окружности внешне касаются одна другой и третьей окружности, радиус которой равен 4. Отрезок, который соединяет точки касания двух равных окружностей с третьей, равен 6. Найдите радиусы равных окружностей. ответ: 12