Задачи по школьной математике. Комбинации фигур

  1. Квадрат  вписан  в  равнобедренный   прямоугольный треугольник, причем одна вершина квадрата расположена на гипотенузе, противоположная ей вершина совпадает с верши­ной прямого угла треугольника, а остальные лежат на катетах. Найдите сторону квадрата, если катет треугольника равен a.
  2. Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие - на катетах.  Найдите сторону квадрата, если гипотенуза рав­на a.
  3. Через  точку,  расположенную  внутри  треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника  и три четырехугольника.   Пусть  a,  b и  c - параллельные  высоты трех этих треугольников.  Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.
  4. На сторонах параллелограмма вне его построены квад­раты. Докажите, что их центры являются вершинами квадрата.
  5. Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаим­но перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Най­дите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = a.
  6. Докажите, что расстояние от вершины треугольни­ка до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до противоположной стороны.
  7. Окружность касается всех сторон равнобокой трапе­ции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.
  8. Окружность касается всех сторон трапеции. Докажи­те, что боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
  9. Катет прямоугольного треугольника равен 2, а про­тиволежащий ему угол равен 30◦. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведенной из верши­ны прямого угла.
  10. Середины сторон выпуклого четырехугольника по­следовательно соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного   четырехугольника   вдвое   меньше   площади  исходного.