Решебник домашнего задания урока 12
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 1-5

Рассмотрим решение задач с номерами 1-5 домашнего задания урока 12 на тему: "Сложные системы уравнений". Весь список домашних заданий и их решений здесь.

Задача 1. Заметим, что $x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy$. Тогда второе уравнение системы принимает вид: $(x+y)^2-xy=13$. Выразим из первого уравнения $x+y=7-xy$ и подставим во второе. Получим квадратное относительно $xy$ уравнение: $(7-xy)^2-xy=13\Leftrightarrow (xy)^2-15xy+36$, откуда $xy=3$ или $xy=12$. То есть исходная система эквивалентна совокупности двух систем: $\left\{\begin{array}{l l} xy=3,\\ x+y=4 \end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l l} xy=12,\\ x+y=-5 \end{array}\right.$, каждая из которых решается методом подстановки (выразим, например, переменную $y$ из второго уравнения и подставим в первое) или можно вспомнить теорему Виета. В первой системе ответ (1;3), (3;1), во второй решений нет. Итоговый ответ исходной системы: (1;3), (3;1)

Задача 2. Домножим первое уравнение на 13, а второе - на 20 и вычтем из первого уравнения второе. Наша цель: получить уравнение, не содержащее число как слагаемого, именно поэтому уравнения были домножены на числа 13 и 20. Получаем систему $\left\{\begin{array}{l l} 26x^2+13xy-13y^2-20x^2+80xy-140y^2=0,\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l l} 2x^2+31xy-51y^2=0,\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.$. Систему такого вида называют однородной второй степени. Первое уравнение является квадратным относительно $x$ (то есть коэффициенты $a=6$, $b=31y$, $c=-51y^2$ содержат $y$, что может показаться странным, однако, ничего крамольного в этом нет). Дискриминант равен $(37y)^2$ , а сами корни $x=\frac{3y}{2}$ и $x=-17y$.  Таким образом, исходная система эквивалента совокупности двух систем: $\left\{\begin{array}{l l} x=\frac{3y}{2},\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l l} x=-17y,\\ x^2-4xy+7y^2=13\end{array}\right.$. Каждая система решается методом подстановки. Ответ первой системы: (3;2), (-3;-2), ответ второй системы: $(-17/\sqrt{28}; 1/\sqrt{28}), (17/\sqrt{28}, -1/\sqrt{28})$.

Задача 3. Система аналогична предыдущей задаче. Домножим первое уравнение на 7, второе - на 20 и вычтем из первого уравнения второе. Получим квадратное относительно $x$ уравнение $x^2+15yx-34y^2=0$ с корнями $x=2y$ и $x=-17y$. То есть исходная система эквивалентна двум системам $\left\{\begin{array}{l l} x=2y,\\ x^2+xy+y^2=7\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l l} x=-17y,\\ x^2+xy+y^2=7\end{array}\right.$, каждая из которых решается методом подстановки.

Задача 4. Методом группировки разложим второе уравнение на множители: $(x^2+2xy)+(xy+2y^2)+2(x+2y)=0$ $\Leftrightarrow (x+2y)(x+y)+2(x+2y)=0$ $\Leftrightarrow (x+2y)(x+y+2)=0$. Так как произведение равно нулю, то уравнение (а вместе с ним и система) распадается на два уравнения: $x+2y=0$ и $x+y+2=0$. Приходим к совокупности двух систем $\left\{\begin{array}{l l} x+2y=0,\\ x^2-y^2+3y=0\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l l} x+y+2=0,\\ x^2-y^2+3y=0\end{array}\right.$, каждая из которых решается методом подстановки.

Задача 5. Приравняем левые части первого и второго уравнений. Получим $x^2+y^2+z=x^2+y+z^2$ $\Leftrightarrow y^2-z^2=y-z$ $\Leftrightarrow (y-z)(y+z-1)=0$. Приходим к совокупности двух систем $\left\{\begin{array}{l l} y=z,\\ x^2+y+z^2=2,\\ x+y^2+z^2=2\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l l} y+z-1=0,\\ x^2+y+z^2=2,\\ x+y^2+z^2=2\end{array}\right.$.

Рассмотрим первую систему. Выразим из первого уравнения $z=y$ и подставим во второе и третье. Так как правые части второго и третьего уравнений равны, то приравняем левые части. Получим уравнение $x^2+y+y^2=x+2y^2$ $\Leftrightarrow (x-y)(x+y-1)=0$, которое распадается на два уравнения $x-y=0$ и $x+y-1=0$. То есть приходим к совокупности двух систем $\left\{\begin{array}{l l} z=y,\\ x=y,\\ x+2y^2=2\end{array}\right.$ и $\left\{\begin{array}{l l} z=y,\\ x=1-y,\\ x+2y^2=2\end{array}\right.$, каждая из которых решается методом подстановки. Напомним, что это только первая система из первого шага решения.

Рассмотрим вторую систему. Выразим из первого уравнения $z=1-y$ и подставим во второе и третье уравнения. Получим систему $\left\{\begin{array}{l l} z=1-y,\\ x^2+y^2-y-1=0,\\ x+2y^2-2y-1=0 \end{array}\right.$. Осталось умножить второе уравнение на 2 и от него отнять третье уравнение. Получим уравнение $2x^2-x-1=0$, содержащее только одну неизвестную $x$.  Его корни $x=1$ и $x=-1/2$. Осталось по каждому корню найти $y$ и $z$.