Муниципальный этап 2012 - 2013 гг.

7 класс

1. В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.
2. Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?
3.  Известно, что $ax^3+bx^2+cx+d$ (a, b, c, d – данные натуральные числа) при любом целом x делится на 5. Доказать, что каждое из чисел a, b, c, d делится на 5.
4. Из прямоугольника размером 8 x 11 клеток требуется по линиям сетки вырезать несколько квадратов так, чтобы не было одинаковых квадратов. Какое наибольшее число квадратов можно вырезать?
5. Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту же цифру, если известно, что:
   а) числа 2a+b и 2b+a оканчиваются на одну и ту же цифру;
   б) числа 3a+b и 3b+a оканчиваются на одну и ту же цифру?

8 класс

1. Сумма двух чисел равно 1465. Если к первому из них приписать справа 5, а у второго зачеркнуть последнюю цифру, то получатся равные числа. Найти данные числа.
2. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью.
3. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
4. При изготовлении партии из N $\geq$ 5 монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?
5.  Даны шесть слов:
   ЗАНОЗА
   ЗИПУНЫ
   КАЗИНО
   КЕФАЛЬ
   ОТМЕЛЬ
   ШЕЛЕСТ
   За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Сколько шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)? Приведите пример и докажите, что меньшим числом шагов обойтись нельзя.

9 класс

1. Петя вынимает из мешка чёрные и красные карточки и складывает их в две стопки. Класть карточку на другую карточку того же цвета запрещено. Десятая и одиннадцатая карточки, выложенные Петей, - красные, а двадцать пятая - чёрная. Какого цвета двадцать шестая выложенная карточка?
2. Десять человек сидят за круглым столом. Сумма в десять долларов должна быть распределена среди них так, чтобы каждый получил половину от той суммы, которую два его соседа получили вместе. Однозначно ли это правило задает распределение денег?
3. Прямая, проходящая через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, пересекает его стороны CA и CB и удалена от вершин на расстояния dA, dB, dC. Доказать равенство a$\cdot$dA + b$\cdot$dB = c$\cdot$dC, где a, b, c – длины сторон треугольника.
4. Докажите, что если x > 0, y > 0, z > 0 и $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, то $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq \sqrt{3}$ и укажите, в каком случае достигается равенство.
5. Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причѐм каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдѐтся хотя бы по одной выбранной клетке.

10 класс

1.  Найдите все натуральные числа a, b и c такие, что корни уравнений x² – 2ax + b = 0, x² – 2bx + c = 0, x² – 2c + a = 0 являются натуральными числами.
2. Что больше $\frac{368972}{764797}$ или $\frac{368975}{764804}$?
3.  Дан равносторонний треугольник ABC, K принадлежит BC. Найти отношение BK:CK, если в прямоугольную трапецию AKFC, AC||KF, можно вписать окружность.
4. Докажите, что для любого натурального n выполнены соотношения:
   а) $0 < \sqrt{4n+2}-\sqrt{n} - \sqrt{n+1} < \frac{1}{16\sqrt{n}^3}$;
   б) $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]=[\sqrt{4n+2}]$, где через [x] обозначена целая часть числа x.
5. Расстоянием между числами $\bar{a_1a_2a_3a_4a_5}$ и $\bar{b_1b_2b_3b_4b_5}$ назовем максимальное $i$, для которого $a_i \ne b_i$. Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?

11 класс

1. Найдите наименьшее положительное значение x + y, если (1 + tg x)(1 + tg y) = 2.
2.  Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами при трех различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет целых корней.
3. Пятая степень натурального числа состоит из цифр 1, 2, 3, 3, 7, 9. Найти это число.
4. Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?
5. Расстоянием между числами $\bar{a_1a_2a_3a_4a_5}$ и $\bar{b_1b_2b_3b_4b_5}$ назовем максимальное $i$, для которого $a_i \ne b_i$. Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?