Муниципальный этап, 2013-2014 гг.

6 класс

1. Разрежьте клетчатый прямоугольник размерами 9 × 10 клеток на несколько квадратов так, чтобы среди них было ровно два квадрата с нечетной стороной. Разрезы должны идти по сторонам клеток.
2. Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5?
3. В ящике у Гарри Поттера 20 шариков — красных, белых и зеленых. Три из них — волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех). Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше, чем белых, а белых больше, чем зеленых. Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых, а белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз? Не забудьте обосновать свой ответ.
4. Джентльмены всегда говорят правду знакомым и лгут незнакомым. Собрались как-то 50 джентльменов и каждый сказал каждому из остальных какую-то из фраз: У меня чётное число знакомых в этой компании или У меня нечётное число знакомых в этой компании. Может ли так быть, что первая фраза была произнесена ровно 2013 раз?

7 класс

1.  Закрасьте несколько клеток таблицы 6 × 6 так, чтобы в каждой строке было ровно три закрашенных клетки, а в каждом столбце либо одна, либо четыре.
2. Дана дробь 2/3. За одну операцию можно либо прибавить 2013 к числителю имеющийся дроби, либо прибавить 2014 к знаменателю, либо сократить дробь на общий делитель числителя и знаменателя. Можно ли такими операциями получить дробь 3/5?
3. В ящике у Гарри Поттера 100 шариков  красных, белых и зеленых. Три из них  волшебные, они время от времени меняют цвет (на любой из этих трех). Однажды Гарри Поттер заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых, а белых больше, чем зеленых. Заглянув через минуту, он увидел, что все стало наоборот: зеленых больше, чем белых, а белых больше, чем красных. Сколько белых шариков он увидел, когда заглядывал в ящик первый раз?
4. Клетчатый прямоугольник размерами 19 × 20 клеток разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по сторонам клеток). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться среди них?

8 класс

1. Дана дробь 2/3. Разрешается много раз выполнять следующие операции: прибавлять 2013 к числителю или прибавлять 2014 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 3/5?
2. Клетчатый прямоугольник 629×630 разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться в таком разбиении? Не забудьте объяснить, почему в разбиении не может получиться меньшее число квадратов с нечетной стороной.
3. Сумасшедший конструктор создал часы с 150 стрелками. Первая стрелка крутится со скоростью один оборот в час, вторая делает 2 оборота в час, . . . , 150-я стрелка делает 150 оборотов в час. Часы запустили из положения, когда все стрелки смотрели строго вверх. Когда в процессе работы часов встречаются две или более стрелки, эти стрелки немедленно отваливаются. Через какое время после запуска отвалится стрелка, вращающаяся со скоростью 74 оборота в час?
4. На выборах в Солнечном Городе можно было проголосовать за Винтика, Шпунтика или Кнопочку. После оглашения результатов оказалось, что все кандидаты набрали в сумме 146% голосов. Считавший голоса Незнайка объяснил, что по ошибке подсчитал процент голосов за Винтика не от общего числа проголосовавших, а лишь от числа голосовавших за Винтика или Шпунтика (остальные проценты он подсчитал правильно). Известно, что за Шпунтика проголосовало больше 1 000 избирателей. Докажите, что Винтик набрал больше 850 голосов.
5. Диагонали AD и BE выпуклого пятиугольника ABCDE пересекаются в точке P. Известно, что AC = CE = AE, угол APB равен углу ACE и AB + BC = CD + DE. Докажите, что AD = BE.

9 класс

1. В ящике у Васи 400 шариков  красных, белых и зеленых. Три из них  волшебные и могут в любой момент поменять цвет на любой из трех перечисленных выше. Вася заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых, а белых больше, чем зеленых. Через минуту Вася еще раз заглянул в ящик и оказалось, что теперь красных шариков меньше чем белых, а белых меньше, чем зеленых. Сколько белых шариков он увидел в первый раз?
2. Даны числа $a_1$, . . . , $a_{10}$. Известно, что у каждого из десяти квадратных трехчленов $x^2 - a_1x + a_2$, $x^2 - a_2x + a_3$, ..., $x^2 - a_9x + a_{10}$, $x^2 - a_{10}x + a_1$ не больше одного корня. Докажите, что все числа $a_i$ не превосходят 4.
3. Клетчатый прямоугольник 2013×2014 разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться среди них?
4. Дан вписанный пятиугольник ABCDE. Известно, что AC = CD. Докажите, что если ABCE - трапеция, то и BCDE - трапеция или прямоугольник.
5.  Квадрат натурального числа даёт при делении на n остаток 8, а куб того же числа даёт при делении на n остаток 25. Чему может быть равно n?

10 класс

1. В ящике у Васи 100 шариков  красных, белых и зеленых. Три из них  волшебные и могут в любой момент поменять цвет на любой из трех перечисленных выше. Вася заглянул в ящик и увидел, что красных шариков больше чем белых, а белых больше, чем зеленых. Через минуту Вася еще раз заглянул в ящик и оказалось, что теперь красных шариков меньше чем белых, а белых меньше, чем зеленых. Сколько белых шариков он увидел в первый раз?
2. Натуральные числа от 1 до 2014 выписаны по кругу в некотором порядке. Отличница Маша вычислила наибольшие общие делители у всех пар стоящих рядом чисел и заявила, что среди полученных НОДов ровно 1007 четных. Докажите, что она ошиблась.
3. Дан квадратный трехчлен $x^2-ax+b$, имеющий два ненулевых корня. Известно, что $|b+1| < a$, и один из его корней по модулю меньше 1. Докажите, что другой корень по модулю больше 1.
4. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, для которой AC = CD. На дуге BC описанной окружности треугольника BCD (не содержащей точки D) выбрана точка E, для которой угол ACB равен углу ABE. На продолжении отрезка BC за точку C отмечена точка F, такая что CE = CF. Докажите, что AB = AF.
5. Клетчатый прямоугольник n × (n + 3), где n > 10, разрезан на несколько квадратов (все разрезы идут по линиям сетки). Какое наименьшее число квадратов с нечетной стороной может оказаться в таком разбиении? (Ответ может зависеть от n.)

11 класс 

1. Двоечнику Косте накануне ЕГЭ приснилось правило: lg (a/b) = (lg a)/(lg b). При каких a > 1 это правило не работает ни при каком положительном b?
2. Саша отметил несколько клеток таблицы 8 × 13 так, что в любом квадратике 2×2 оказалось нечетное число отмеченных клеток. Затем он отметил еще несколько клеток, в результате чего в каждом квадрате 2×2 стало четное число отмеченных клеток. Какое наименьшее суммарное число клеток могло быть отмечено Сашей?
3. Дан квадратный трехчлен $f(x)$, старший коэффициент которого равен −1. Известно, что существует такая пара различных чисел $u$ и $v$, что $f(u) = - v^2$ и $f(v) = - u^2$. Докажите, что существует бесконечно много пар чисел с таким свойством.
4. Все грани тетраэдра ABCD  остроугольные треугольники. Точка I - центр его вписанной сферы, а точка O -  центр описанной сферы. Известно, что I лежит в плоскости ABO. Кроме того, известно, что угол ABC равен 50^o и угол BAC равен 60^о. Найдите угол ADB.
5. Докажите, что для всех натуральных m и n выполнено неравенство [$n\sqrt{2}$ ] $\cdot$ [$m\sqrt{7}$] < [$mn\sqrt{14}$]. Квадратные скобки обозначают целую часть числа.