Олимпиадная математика. Первая серия задач

Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников

  1. Может ли шахматный конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
  2. Можно ли покрыть шахматную доску костяшками домино 1х2 так, чтобы свободными остались только клетки а1 и h8?
  3. На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трех камней.
  4. Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5х5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а в каждом столбце - отрицательной?
  5. В комнате стояли стулья (с четырьмя ножками) и табуреты (с тремя ножками). Когда на каждый стул и каждый табурет село по одному школьнику, то общее число "ног" в комнате составило 39. Сколько стульев и сколько табуретов стояло в комнате?
  6. Можно ли квадрат со стороной 20 см разрезать на 10 попарно не равных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров?
  7. Найдите все квадратные трехчлены x^2+px+q такие, что каждый из их коэффициентов p и q является и их корнем.
  8. Можно ли в каждом из равенств БУ+РА+ТИ=НО, ПИ+НО+КК=ИО заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы - разными цифрами так, чтобы оба этих равенства оказались верными?
  9. Натуральные числа m и n удовлетворяют равенству (m-n)^2=\frac{4mn}{m+n-1}. Докажите, что их сумма m+n является квадратом натурального числа.
  10. Существуют ли 2002 ненулевых числа, никакие два из которых не равны между собой, такие, что их сумма равна их произведению?