Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Досрочный экзамен 30 марта 2018 года
Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом.
Часть 2 cодержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий повышенного и высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите
в бланк ответов № 1.

При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы.
Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!

Условия задач

1.  Диагональ экрана телевизора равна 113 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

2.  На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 17 октября. Ответ дайте в градусах Цельсия. 

3.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его гипотенузы. 

4.  Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов — в первый день 24 доклада, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

5.  Найдите корень уравнения $(x+1)^5=32$

6.  Стороны параллелограмма равны 12 и 15. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.

7.  На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и отмечены точки –2, –1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку. 

8.  В цилиндрический сосуд налили 1000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 14 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 7 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³. 

9.  Найдите значение выражения $\displaystyle\frac{7\sin154^o}{\sin77^o\cdot\sin13^o}$

10.  www.itmathrepetitor.ru Водолазный колокол, содержащий $v$ = 5 моля воздуха при давлении p₁ = 2,1 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления p₂. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A=\alpha v T\log_2\frac{p_2}{p_1}$, где $\alpha$ = 1,19 — постоянная, T = 300 K — температура воздуха. Найдите, какое давление p₂ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 28650 Дж.

11.  Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 775 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 28 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 61 час после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

12.  Найдите наибольшее значение функции $y=(x^2-9x+9)e^x$ на отрезке $[-5;3]$.

13. а) Решите уравнение $\displaystyle\frac{\sin x}{\cos^2\frac{x}{2}}=4\sin^2\displaystyle\frac{x}{2}$;

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi; -5\pi/2]$.

14.  На ребре AA₁ правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка К, причем AK:KA₁ = 3:1. Через точки К и В проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой АС и пересекающая ребро DD1 в точке М.
а) Докажите, что точка М – середина ребра DD₁
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ , если АВ = 5, AA₁ = 4.

15.  Решите неравенство $\displaystyle\frac{6^x-4\cdot3^x}{x\cdot2^x-5\cdot2^x-4x+20}\le\frac{1}{x-5}$

16.  Высоты тупоугольного треугольника АВС с тупым углом АВС пересекаются в точке Н. Угол АНС равен 60^o.
а) Докажите, что угол АВС равен 120^o
б) Найдите ВН, если АВ = 6, ВС = 10.

17.  В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
— в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Определите, какую сумму взяли в кредит, если известно, что кредит был выплачен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) и общая сумма выплат составила 311040 рублей.

18.  Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $\left\{\begin{array}{l l} ((x+5)^2+y^2-a^2)ln(9-x^2-y^2)=0,\\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y+5-a)=0\end{array}\right.$  имеет два различных решения.

19. На доске написаны числа $a_1,...,a_n$, каждое из которых не меньше 50 и не больше 150. Каждое из чисел $a_i$ уменьшили на $r_i$ %. При этом для каждого $i$ ($1\le i\le n$) либо $r_i$ равно 2, либо число $a_i$ уменьшилось на 2.

а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_1,...,r_n$ быть равным 5?

б) Может ли оказаться, что среднее арифметическое чисел $r_1,...,r_n$ больше 2, а сумма чисел $a_1, ..., a_n$ уменьшилось более чем на $2n$?

в)  Пусть на доске написано 30 чисел, сумма которых уменьшилась на 40. Найдите наибольшее значение среднего арифметического чисел $r_1, ..., r_{30}$.

смотрите также ЕГЭ Демо 2018 Профильный уровень

Ответы