В.А. Успенский «Математика - это гуманитарная наука»

все статьи по математическому образованию

В новогодние каникулы 2014 года Владимир Андреевич Успенский любезно согласился встретиться и поговорить с Михаилом Гельфандом. Мы публикуем расшифровку стенограммы этой беседы, подвергшуюся минимальному редактированию. Курсивом показаны места, выделенные в разговоре интонацией.

В ходе интервью В.А. успенским было рассказано о двух его любимых лекторах, П.С. Новикове и И.М. Гельфанде. Этот рассказ помещен в конце интервью.

Математика, физика и лингвистика

— Насколько я понимаю, у Вас занятия математикой всегда происходили на границе математики и языка, это был в каком-то смысле лингвистический фланг математики.

— Я не могу сказать, что это происходило на границе математики и лингвистики. Скорее, это был логический фланг. Все-таки математикой я начал заниматься существенно раньше, чем лингвистикой.

Есть такой уважаемый мною человек, Евгений Абрамович Бунимович. В ноябре 2013 года, на церемонии вручения премии «Просветитель», членом жюри которой он состоит, он сказал: «В России есть всего два математика, которые считают, что математика — это гуманитарная наука: это Владимир Андреевич Успенский и я».

— Я не математик, но я тоже так считаю.

— Правильно. Но, скажем, великий Арнольд — наши ранги как математиков несопоставимы, так что я испытываю неловкость, возражая ему, — считал, что математика это часть физики.

— Я ровно про это и хотел спросить.

— Если математика — часть физики, то с таким же успехом она — часть психологии. Потому что всё происходит в голове у человека. Возьмите такую науку, как теория чисел. Никаких аксиом там нет. Я плохо отношусь к Виноградову [1], как и большинство приличных людей, но его книжку «Основы теории чисел» читал с огромным удовольствием.

Она начинается из ничего и доходит до некоторых высот. Потому что в головах имеется некоторое представление о натуральном числе, и если один человек сидит здесь, а другой — в Новой Зеландии, то это представление у них будет одинаковым: ведь выводы, к которым они приходят, совпадают. Значит, это свойство человеческой психологии. Некоторые выводят из этого существование Бога. Об этом я не берусь судить, но сам факт такого единства достоин внимания.

— Недавно в Science была статья, что восприятие малых количеств у людей в голове находится вовсе не в том месте, где последовательный индуктивный счет. И имеется пространственный градиент активности в соответствующей зоне коры головного мозга в зависимости от числа предъявленных картинок, от одного до семи [2].

— Конечно, а дальше уже «много». Это отражается в языке: два, три, четыре стула, но пять стульев. Мой любимый тезис, что бесконечность — это аппроксимация конечного сверху. Иногда проще сказать не «восемь септильонов», а «бесконечно».

— «Много» начинается там, где не видно сразу, а надо считать, показывая пальцем.

— Вы затронули интересный вопрос, мне его иногда задают важные коллеги, — откуда начинается натуральный ряд, с ноля или с единицы? Дело в том, есть два понятия натурального ряда. Есть количественное, оно охватывает ноль: «Сколько здесь крокодилов? — Ноль», а есть «считательное»: если пересчитывать крокодилов, то, конечно, будет «раз, два, три...».

— Но большинство математиков все-таки идут от физики. Владимир Игоревич Арнольд, Юрий Иванович Манин [3], Израиль Моисеевич <Гельфанд>...

— Откуда идет большинство — это я не знаю. Египетская математика идет от прикладных задач, как пирамиды строить.

— То есть, это, скорее, физическая линия.

— Да, но греческая математика уже идет от высоких воспарений. Все-таки европейская математика происходит из Греции, а не из Египта. Пифагор— несоизмеримость отрезков [4], зачем она, вообще говоря, была грекам нужна для их физики? А это великое открытие.

— Но если в европейской математике есть, условно, египетская физическая линия и греческая психологическая.

— Я бы сказал, психолого-эстетическая.

— ... то как в других математических культурах?

— Откуда же мне знать?

— Вы не пытались смотреть?

— Для этого нужно быть специалистом по истории математики.

— Вам никогда не хотелось?

— Хотелось. История математики — это чрезвычайно интересная наука, находящаяся повсеместно на довольно низком уровне. По следующей причине: ею занимаются люди, иногда вполне неглупые, но, как правило, те, у кого не получалась математика. Я с этим столкнулся на следующем примере. Когда мы с А.Л. Семёновым писали книжку про алгоритмы [5], мне нужно было узнать, у кого появилось понятие алгоритма — не слово (все знают про Аль-Хорезми [6]), а понятие алгоритма как описания процесса, который не ограничен в числе шагов, но приводит к результату.

На ответ я наткнулся почти случайно. Впервые это понятие появилось у Эмиля Бореля в 1912 году, но никто об этом не знал, потому что появилось оно в статье Бореля об определенном интеграле. Там он писал о «вычислениях, которые можно реально осуществить», подчеркивая при этом: «Я намеренно оставляю в стороне большую или меньшую практическую деятельность; суть здесь та, что каждая из этих операций осуществима в конечное время при помощи достоверного и недвусмысленного метода». Специалисты по математическому анализу, интересующиеся понятием интеграла, это прочли и пропустили мимо. А специалисты по теории алгоритмов в такую литературу не заглядывают. А ведь Борель в точности определил, что такое алгоритм.

— Примеры алгоритмов были и раньше.

— Примеры — разумеется. Я говорю про понятие, это большая разница. Конечно, у Аль-Хорезми были описания, как что-то там складывать...

— Или европейские математики, которые друг с другом соревновались в решении разных типов кубических уравнений.

— Задачи на построение — это по существу тоже алгоритм.

— Раз так, у Евклида не найдется строгого списка разрешенных операций и их последовательных комбинаций?

— Не найдется.

—А если широко на это посмотреть?

— Если посмотреть очень широко, да еще с современных позиций, то, возможно, из книг Евклида можно извлечь такой список. Осознавал ли его Евклид, неизвестно.

— Еще о классификации наук. Если считать, что математика — гуманитарная наука, то не является ли лингвистика — естественной наукой?

— Нет.

— Именно лингвистика, не филология.

— Если так, это правильный вопрос. Тогда да, согласен, в значительной степени является. Я считаю, что главная беда лингвистики — что она оказалась склеенной с литературоведением. Как сиамские близнецы. Что ее губит.

Математика и музыка

— Очень многие хорошие математики, которых я мог наблюдать или про которых слышал, много и в каком-то смысле глубоко слушали музыку. Израиль Моисеевич, Манин.

— Колмогоров.

— Музыкальный клуб на мехмате.

— Да, Александров.

— В моем поколении Максим Концевич...

— И что?

— Это правильное наблюдение?

— Правильное.

— Не связано ли это с тем, что одни и те же структуры мозга работают?

— Откуда же мне знать?

— А если фантазировать?

— С таким же успехом это может быть связано с тем, что работают противоположные структуры и происходит отдых. Можно сделать такой вывод и написать несколько диссертаций, а можно сделать другой вывод и тоже написать несколько диссертаций.

— Сейчас, видимо, можно приложить электроды и померить, какие области работают там и там. Меня удивляет, что этого никто не сделал.

— В мае 2004 года я побывал в Провиденсе, куда меня привезла мой друг Таня Корельская с целью посмотреть церемонию выпуска бакалавров Брауновского университета. Дело в том, что среди тех, на кого надели мантию, была ее старшая дочь Ксения. Таня привела меня в дом вашего отца, которого я знаю с его 11 лет. Там я был напоен лучшей водкой, которую я когда-либо пил, и которую я с тех пор не могу ни забыть, ни найти [7]. А Ксения, занимавшаяся нейролингвистикой, привела меня в одну из университетских лабораторий, где мне показали на экране компьютера, как меняется приток крови к различным участкам мозга при произнесении тех или иных слов. Это, конечно, более грубо, чем электроды. Вот вы - доктор биологических наук — сделайте.

— Я не тех биологических наук доктор.

— Ну, найдите кого-нибудь, кто сделает.

— А вы слушаете музыку? Насколько это для вас существенно?

—  У меня с музыкой очень плохо, я об этом очень сожалею. Андрей Николаевич Колмогоров пытался меня приучить, что-то объяснял. Например, он мне объяснил вещь, которую я до него не понимал. Я не любил пение; как говорила моя теща, «я не люблю, когда при мне поют», — вот это мне было очень понятно. Он мне объяснил, что это такой музыкальный инструмент. Есть виолончель, есть фортепиано, а есть человеческий голос. Но я задал ему вопрос, на который он не смог ответить: «А слова-то зачем? Я их всё равно разобрать не могу».

— У Баха понятно, зачем.

— Это религиозные гимны, тут понятно, зачем.

— У Баха была целая риторическая система [8].

— Это другое дело, тут слова, которые иллюстрируются музыкой. А я помню арию Орфея «Потерял я Евридику, Евридики нет со мной», которую на виниловой пластинке мне ставил Колмогоров. Он честно пытался приучить меня к музыке. Андрей Николаевич меня должен был выгнать за эту неспособность, но терпел. Я сам себя в этом смысле считаю человеком патологическим. Это что-то вроде дислексии — я слышу по радио музыку, я понимаю, что я эту музыку много раз слышал и ее люблю, но запомнить, кто это и что это, я не в состоянии.

— Это другое. Вот я, скажем, лица людей не помню. И не связываю с именами. Но саму мелодию помните?

— Воспроизвести, конечно, не могу. Но я помню, что я эту мелодию много раз слышал, она мне нравится, но что это. Единственное, что я могу опознать, — это «Болеро» Равеля, причем не само «Болеро», а ритм барабана [9] — я его с трудом, но выучил.

Ну, подождите. Многие крупные математики, тот же Колмогоров, занимались усиленно спортом. Нет, не спортом, а именно физической культурой.

— Кажется, меньше. И потом, это их не выделяет из других ученых. А вот любовь к серьезной музыке — это уже специфично для математиков.

— Интересно, да.

— Опять, если бы были под рукой хорошие социологи, можно было бы их на это напустить.

Как думают математики

— Чем отличается хороший математик от плохого? В чем разница во внутренних ощущениях и в способах обращения с материалом?

— Откуда же я знаю? Я же не хороший математик, я только со стороны могу смотреть. Есть несколько жанров математика. Когда-то мне Колмогоров говорил, что может быть очень хорошая работа, в которой теорем почти не доказывается, но вводится система понятий, которая чрезвычайно важна. Сюда же, видимо, относятся те, кто открывает новые теории. Третьи — те, кто решает задачи, которые стояли много лет, в узкой области.

Вот, опять, Виноградов — он хороший математик или нет? Наверное, сильный, и даже очень сильный, хотя и «узкий». Конечно, было бы лучше, если бы не делали вид, что он решил проблему Гольдбаха [10], которую он не решил. Но то, что он действительно решил в этой проблеме, достойно всяческого уважения. Так что есть разные математики. Что-то должно реализоваться: или умение решать сложную проблему, или придумывать новые теории, или создавать новую систему понятий.

— Я бы еще четвертое добавил — умение видеть связи между далекими областями.

— Вы правы. То, что умел делать ваш великий дед.

— Я из воспоминаний о нем это и узнал — я не сам это придумал. Поскольку я вообще никакой не математик, хотя тоже мехмат заканчивал.

Когда я наблюдал математически сильных людей, на моем курсе и вокруг, у меня всегда было ощущение, что они умеют обращаться с понятиями, для которых у меня нет соответствующей машинки в голове. Пока можно было формально писать — я чисто алгебраически это делал, но как только чуть выходило за рамки, оказывалось, что я просто не умею про это думать.

— Думаю, Вы не по адресу. Вам надо бы взять какого-нибудь сильного математика, Манина, например.

— Я разговаривал с Юрием Ивановичем [3]. Это не помогает. Они в этот момент начинают, как поэты, разговаривать образами.

— Колмогоров, на моей памя­ти не меньше двух раз, обращал вни­мание вот на что. Математик, когда он думает, шевелит руками, пальца­ми. Он явно геометризирует какие-то мысленные конструкции. Колмо­горов считал, что если изучить эти движения, то можно что-то понять в отношении мышления математи­ка. Кто-то сказал, не помню кто, что математика берет образы несуще­ствующие и обращается с ними, как с существующими. «Возьмем паракомпакт и выберем в нем точку» — что, как, где возьмем? Как выберем?

—Тогда это возвращает нас к раз­говору про математику и музыку. Альфред Шнитке говорил, что, когда он пишет музыку, он записыва­ет то, что уже знает. Он не сочиня­ет последовательно — первую часть, потом вторую, — нет, у него имеет­ся некоторый цельный образ, и его задача, как композитора, наиболее адекватно передать этот образ теми средствами, которые есть в его рас­поряжении.

— Когда математик пишет статью, он, конечно, в голове ее всю уже на­писал. Технических деталей может не хватать, но всё уже понятно.

— Откуда берутся ошибки в матема­тике? Ошибочные гипотезы — сбой этого механизма? Неправильная картинка в голове возникла?

— Конечно. Но она — мощный дви­гатель прогресса. Вот, например, у Колумба была ошибочная гипоте­за, что если плыть на запад, то там сразу Индия.

— Это пример не совсем про то; тут уж очень конкретно. Есть примеры, когда такие ошибки сильно продвинули математику?

— Убежден, что есть... (пауза). Ну вот, у великого математика Анри Лебега [11] была неправильная теоре­ма, которую он опубликовал. Из ее опровержения возникла дескрип­тивная теория множеств. Фундаментальный вклад в эту теорию внес Ни­колай Николаевич Лузин, создатель московской математической школы. У Лузина была книга [12], первона­чально, в 1930 году, изданная в Па­риже по-французски с лестным пре­дисловием Лебега.

Она потом два раза, отдельным изданием в 1953 году и во вто­ром томе собрания сочинений Лу­зина в 1957 году, выходила в СССР в русском переводе, и оба раза об­ходились без предисловия Лебега. Это само по себе замечательно — кто такой Лебег, чтобы на него тра­тить время и бумагу. Про издание 1953 года всё понятно: оно готови­лось еще при жизни Сталина, в пе­риод инициированной им борьбы с «низкопоклонством перед Западом». В издание 1957 года предисловие, думается, не было включено по при­чине традиционного издательского консерватизма.

Русский перевод предисловия уда­лось опубликовать лишь в 1985 году в связи со столетием Лузина [13]. Так вот, в этом предисловии было сказано: «Источником всех про­блем, о которых пойдет здесь речь, послужила грубая ошибка в моем Мемуаре об аналитически представимых функциях. Плодотворная ошибка, меня просто вдохновило ее совершить». И далее: «Доказа­тельство было простым, коротким, но неверным».

Это вот про что. Сначала на прямой — вы начинаете с отрезков, а дальше применяются три операции: дополнение, объединение счетного числа множеств и пересечение счет­ного числа множеств. Всякое множество, которое можно получить в ре­зультате, называется борелевским. На плоскости — аналогично, толь­ко начинаем с прямоугольников. А дальше вопрос: проекция плоско­го борелевского множества на пря­мую — это борелевское множество или нет? Лебегу было очевидно, что борелевское, и он это доказал и сделал из этого глубочайшие философ­ские выводы, что математический анализ замкнут сам в себе, потому что за пределы борелевских множеств нельзя никуда выйти.

Дальше была драматическая исто­рия — в России на семинаре Лузина была обнаружена ошибка. У Лузина был выдающийся ученик, Суслин [14], который построил пример борелев­ского множества, проекция которого не борелевская. Сейчас проекции бо­релевских множеств называют суслинскими или А-множествами, Лузин называл их аналитическими. Им по­священа целая книга [12], от которой и пошла современная дескриптивная теория множеств.

Это пример не просто неправиль­ной гипотезы, а неправильной тео­ремы, которая послужила толчком к созданию целого направления ма­тематики.

Какой математике учить

— Разговор про основы матанализа подводит еще к одному сю­жету. Ясно, что многим нематема­тикам, условно говоря, филологам и биологам, нужна математика, и их надо ей учить.

—Ну, филологам вряд ли... Разве что статистика для стиховедения.

—Лингвистам.

— Лингвистам — да. Биологам — конечно.

—Теперь — для чего она им нуж­на? Первое соображение — триви­альное. Скажем, всем нужна ста­тистика; это часть математики. Биологам нужны дифференциаль­ные уравнения.

— Это у нас математическая стати­стика — часть математики. На Запа­де математическая статистика и тео­рия вероятности образуют отдельный раздел науки, по объему равный ма­тематике, а то и превосходящий ее.

—Везде на Западе или только в США?

—Точно не знаю.

—Если США, то понятно, почему так.

—Да, из практических соображе­ний. Страхование и так далее.

— Ну вот, первое, чему надо учить— это, грубо говоря, набор навыков, в каком-то смысле инженерных. А вто­рая причина — это то, что математика «ставит» мозги. люди должны пони­мать смысл логических утверждений, понимать, что он может сильно поме­няться от изменения порядка слов, что кванторы нельзя переставлять. «Для любого эпсилон существует дельта та­кая, что...» и «существует такая дель­та, что для любого эпсилон... » — это существенно разные вещи.

— Это главное.

—Конечно. Но правильно ли учить этому на материале классического анализа, на языке эпсилон-дельта? Или сейчас для этого стоит брать какой-нибудь другой раздел мате­матики? Я смотрел программу эк­замена на нашем факультете био­информатики. Вершиной там была лемма о компактности шара.

—Это им не нужно. Это и на мехма­те бывает сложно первокурсникам.

В России всюду поступают так. Бе­рут мехматское образование и в раз­ных местах его урезают, иногда силь­но, иногда слабо, иногда, скажем, на ВМК [15], оставляют почти такое же. На мехмате понятно, зачем эпсилон-дельта: математический анализ нуж­но профессионально выучить.

Учат всюду неправильно.

—А как правильно?

— Как правильно, я не знаю. Пре­жде всего, надо правильно обозна­чить цели. Может быть, цель — нау­чить логике? Я много лет преподавал математическую логику лингвистам... Ну, например, что является отрицани­ем утверждения «в этой аудитории каждый из студентов знает хотя бы один из двух языков — баскский или чукотский» [16]? Вот на таких приме­рах надо учить.

— Казалось бы, это ничем не отли­чается от эпсилон-дельта.

—Правильно. Это не отличается по целям и по способу, но это гораздо нагляднее.

— Это для лингвистов. А для био­логов?

— Для всех. Какая разница?

—Может быть, биологов вообще не надо этому учить, потому что не видно, где бы в биологии это было существенно. Лингвисты должны ви­деть структуру предложения...

— Все говорят на языке — все долж­ны видеть структуру.

— Мне казалось, что биологов надо учить на материале комбинаторики. Понять разницу между схемой с воз­вращением и схемой без возвраще­ния [17] — это примерно такое же интеллектуальное усилие, как по­нять порядок кванторов.

— Не совсем. Вы правы, что это усилие такой же трудности. Но со­держательно — я не согласен. Чему надо учить биологов — это Вам вид­нее. Это Вам виднее. Определять это должны не математики, кото­рые всех хотят учить всему, а те, кого учат. Чему надо учить — неиз­вестно. Чему в школе надо учить, не знает никто.

—Возможно, я не с того конца за­шел. Есть две области математики, которые имеют дело с простыми и очень естественными объектами: ло­гика, которая фактически работает с языком, и комбинаторика, которая имеет дело с предметами.

— Комбинаторика имеет дело с множествами. Стало быть, появляют­ся кванторы. Ну, вот совсем простая задача: в Швейцарии каждый знает не менее трех из четырех офици­альных языков. Доказать, что любые три швейцарца могут объясниться на общем языке. Это и комбинато­рика, и логика.

— Видимо, правильный курс дол­жен состоять из таких вещей. Если считать, что есть цель преподавания математики «естественным» ученым, помимо инженерной...

— Ломоносов говорил, я это по сво­ей брошюре [18] цитирую: «Матема­тику уже за то любить надо, что она ум на место ставит».

— ... из чего такой курс должен со­стоять?

— Вы ошибочно полагаете, что я знаю. Но я согласен, что комбинато­рика там должна занимать большое место. В частности, такого сорта за­дачи: имеются монеты, некоторые из них фальшивые, и нужно сколькими-то взвешиваниями определить, ка­кие. Разные схемы могут быть.

—Все-таки, это, скорее, про то, как надо учить математике в биологиче­ской школе. Это уровень интересных задач и общего развития. А я спра­шиваю, надо ли преподавать что-то систематическое.

—Опять — нужно подойти с друго­го конца. Кто-то мне давно сказал, что «надо» — слово бессмысленное. Правильно — «надо для чего-то». Вот и решайте.

Вот Лузин, когда учился в гимназии, «поначалу обнаружил полную неспо­собность к математике в той форме, в которой она преподавалась (зау­чивание правил и действия по ша­блонам)» [19].

Любимые лекторы

В моей жизни были два совершенно гениальных лектора. Походы на их лекции являлись полным наслаждением. Причем, я очень хорошо помню, что, хотя ходить было наслаждением, как на концерт, если лекция отменялась, я был рад. Почему? Не знаю, какая-то психология — я не мог и сейчас не могу объяснить механизм.

Этими лекторами были Пётр Сер­геевич Новиков и Израиль Моисе­евич Гельфанд. Оба читали на мех­мате, в старом здании на Моховой. У них были абсолютно противопо­ложные стили.

У Новикова лекция часто состояла из поправок к предыдущей: он ис­правлял неточности, даже ошибки. Общение со студентами было, я бы сказал, повышенно любезное. Сту­дентов было мало — это были нео­бязательные лекции по дескриптив­ной теории множеств, факультатив для желающих. Сидело человек 12, а то и меньше. Помню неприятный момент, когда пришла сотрудница деканата и переписала, кто с мех­мата, — оказалось трое.

Народу было так мало, что однажды, когда я не мог прийти на следующую лекцию, я его предупредил — было бы заметно. Его реакция была совер­шенно неожиданной, он сказал: «Ну, так мы отменим». Я его предупредил перед лекцией, и он начал ее с объ­явления, что следующая лекция будет не по расписанию, а через раз.

Среди постоянных слушателей был Есенин-Вольпин. Вот Новиков гово­рит: «А теперь мы должны ввести це­лое множество символов». Есенин- Вольпин, естественно, спрашивает: «А что такое символ?» («Википедия»: «Основу математических и философ­ских взглядов Есенина-Вольпина со­ставляет крайний скептицизм — от­рицание всех принимаемых на веру абстрактных понятий». — М.Г.). И вся лекция уходит на выяснение того, что такое символ. При этом всё у меня было записано, мои конспекты даже ездили в Воронеж ценной банде­ролью. Дескриптивная теория мно­жеств — это вещь тяжелая.

Теперь Гельфанд. Продумано всё до последней мелочи. Необычайно изящно. Он когда-то сказал: «Мо­царт! Он не делает ошибок!» (Это было про Колмогорова, который под конец жизни как раз допустил пару ошибок и очень расстраивался.) И вот он сам изяществом стиля сво­их лекций был, как Моцарт. Это был 1950/1951 учебный год, обязатель­ные лекции по интегральным уравне­ниям для четвертого курса. Они чита­лись в одной из больших, но плоских аудиторий (самые большие аудито­рии — амфитеатром).

Лекции обязательные для чет­вертого курса, но на них приходят с других курсов, с других факульте­тов (с физического бегают) — сидят на подоконниках, висят на люстрах. Читает очень ясно, но как-то раз я чего-то не понял. Я послал ему за­писку, что такое-то место мне непо­нятно; не подписался. Он прочитал записку и сказал: «Ну, только пол­ный идиот может написать такое. Он ничего не понимает с самого на­чала, и не понятно, что он вообще тут делает». Высказался по полной программе. Я пришел в бешенство: «Я студент, ты профес­сор, я могу чего-то не понять, твое дело объяснить — ну или сказать, что сейчас не время, и объяснить после лекции — но не хамить».

А еще у него была манера тыкать пальцем в произвольного студен­та и вызывать к доске. И он тыкает в меня, совершенно случайно: «Вот, мы дошли до такого места, что мы дальше должны делать?» Я знаю, но говорю: «Я не знаю». Он спрашива­ет: «Как это Вы не знаете?» И начи­нает на меня орать. Когда он кончил орать, я сказал: «Не знаю я потому, что я забыл дома очки и не вижу». Я действительно забыл очки, но, на­прягшись, со второго ряда мог раз­глядеть, хотя с трудом, и всё понял и записал. Он говорит: «Чего Вы тогда тут сидите?» И вот тут я ему врезал. Я сказал: «Сижу я тут потому, что у нас обязательное посещение». Еще раз повторяю: сидят на подоконни­ках, с других курсов, с других факуль­тетов, и вообще, это огромное собы­тие — лекции Гельфанда. Что он мог сказать? — «Садитесь».

Я понимаю, что накликал беду на свою голову. Потом экзамен. Экза­мен у Гельфанда происходит так: он запускает сразу человек двадцать. Всем дает задачу, каждому свою, а сам бегает и смотрит. Решил чело­век задачу — может выбрать: не­медленно получить тройку или, если хочет больше, ему опять дается за­дача, уже следующего уровня, и всё повторяется.

Мне он дает задачу, очень сложную. Я чрез­вычайно себя ругаю, что ее не за­писал. Несколько лет помнил, потом забылось.

Решить я ее не могу. Он на меня поглядывает с большим удовлетво­рением — конечно, он меня запом­нил. Так проходит два часа. Экзамен еще продолжается, кто-то приходит, уходит. Он видит, что у меня ничего нет. Подходит и спрашивает: «Ну, как у Вас?» Я говорю: «Вот у меня такие-то соображения». Он опять начал орать: «Меня не интересуют Ваши сообра­жения! Меня интересует, решили Вы задачу или не решили. Если решили — пишите решение. Если не решили — так и скажите: «Не решил»».

Дальше произошло нечто неве­роятное. У меня было такое впечат­ление, что от этого крика у меня в мозге разорвалась какая-то пленка. Даже как будто звук раздался. И в эту самую минуту задача решилась. Конечно, всё это время, пока я си­дел, что-то такое у меня в селезен­ке и родственных органах происхо­дило. Но вот от крика всё решилось. И я тогда ему ехиднейшим голосом говорю: «Простите, Израиль Моисе­евич, я думал, Вас интересуют мои соображения, но если Вас интере­сует всего лишь решение, вот оно». И выписываю ему решение. Мы оба обалдели совершенно одинаково. Он же видел, что у меня нет ничего... Но надо отдать ему должное, он не стал мне давать другой задачи: эта задача уже была на «шесть». Он с отвращением поставил мне «пять», и я удалился.

А дальше происходит следующее. Подходит конец моей аспиранту­ры. Она заканчивается 15 ноября 1955 года. Наступает весна 55-го года, а диссертация у меня не на­писана. Она у меня вся есть в голо­ве, есть публикации — надо сесть и записать. И тут моя жена принима­ет чрезвычайно странное решение — чтобы я написал диссертацию, меня надо послать в курортный город Па­лангу, в пансионат Союза писателей. Почему он назывался «пансионат», не ясно — там давали только кров, никакого пансиона не было, питай­ся, где хочешь.

У меня была комната под кры­шей, которая страшно раскалялась. Мне было скучно писать диссерта­цию, поэтому я сначала отредакти­ровал перевод Есенина-Вольпина книги Клини «Введение в метама­тематику». Есенин-Вольпин, пере­ведя Клини, совершил этим, конечно, подвиг, но переводил он так. Вот та­кая фраза: «Все f E g» — как ее надо понять?.. В оригинале было: «AH fs of Eareg's». По-английски «'s» — это множественное число. По-русски как писать — «f-ы»? «д» — это ранее вве­денные объекты. «Е», оказывается, сто­ит в родительном падеже. И еще тут пропущено сказуемое-связка. Потом я написал большую статью в «Успе­хи математических наук», а потом стал лихорадочно писать диссерта­цию, потом уже в Москве ее допи­сал, отдал перепечатать и успел за­щититься в срок.

Ну вот. Приезжаю я в этот панси­онат, и первых, кого я вижу, — Гельфанда с семьей, Зорей Яковлев­ной и тремя сыновьями, старшему из которых, Сереже, было 11 лет; это был Ваш отец. И Гельфанд меня видит. Смешанные чувства отража­ются на его лице. С одной стороны, он меня терпеть не может, как мы потом, на следующий день, выяс­нили. Как и я его. Но там писатели, причем половина — литовских, и я единственный, с кем можно разго­варивать. Нет повода для сближе­ния, но происходит вот что: отклю­чается электричество. Там несколько щитов с переключателями, с проб­ками, что-то перегорело.

И он говорит так: «Вы бегайте по этажам и там выкручивайте и вкру­чивайте лампочки, а я буду стоять на первом этаже и по Вашим указани­ям менять пробки на центральном щите. Это же по Вашей части» (тог­да компьютеров не было, главным приложением логики были релейно- контактные схемы). Я начинаю бегать и понимаю, что произошло: я вычис­ляю ту лампочку, которая перегорела, и сгоревшую пробку; по одной ни­как не сходилось. Я тогда был моло­дой, и в голове что-то еще работало. Я ему указал пробку, он ее поменял, и всё заработало. И дальше мы уже довольно быстро подружились.

Он спросил, чем я занимаюсь, я от­ветил, и он сказал: «Ну, хорошо, чи­тайте мне лекции по теории алгорит­мов». Мы садились на скамеечке, и я ему прочел три лекции, даже расска­зал одну свою теорему, такую, кото­рую можно изложить на пальцах даже с доказательством: рассмотрим вы­числимые функции, у которых мно­жество значений бесконечно; сово­купность их программ сама не может быть множеством значений вычисли­мой функции. Это довольно просто и красиво доказывается, но как-то до меня никто не сообразил, что такая теорема может быть. Я ему расска­зал, ему понравилось.

А в конце третьей лекции я сказал, что больше лекций читать не буду. «Почему, что такое?» А вот почему: я обратил внимание, что к скамей­ке, где мы сидели, подошел трехлет­ний мальчик и начал что-то лепить из песка, и Гельфанд этим заинте­ресовался и одним ухом меня слу­шает, а сам обернулся туда и с увле­чением строит куличики. «Вы меня перестали слушать, значит, уже хва­тит: никакого упрека, но произошел естественный конец».

Когда уже надо было уезжать, он мне сказал: «Вы сейчас заканчиваете аспирантуру, я Вас беру в свой отдел в отделении прикладной математи­ки» (оно в несколько раз превосхо­дило численностью, влиянием и фи­нансами Математический институт Академии наук, отделением которо­го считалось) — «А что я там буду де­лать?» — «Мы с Вами будем писать книгу. Там надо будет охватить всю математику, но не просто общее вве­дение, а в каждом разделе мы возь­мем по яркой теореме. Вот я Вам сейчас расскажу, и мы обсудим». Ну, «обсудим» — это просто так сказано говорил он, а я, раскрыв рот, слушал. Теорема о том, как устроены какие-то поверхности третьего порядка, что-то такое. Теорема о каких-то функциона­лах. Теорема о том, как у дифферен­циальных уравнений решения закру­чиваются куда-то. «Берем эти разделы и пишем, будем обсуждать, Вы буде­те записывать».

Я пошел к А.Н. Колмогорову, он мой учитель (как, кстати, и Гельфанда). Я сказал, что меня пригласил Гельфанд, это большая честь. «Да, большая честь. Но я Вам скажу, что будет. В течение года, а если повезет, то двух, Вы бу­дете его любимой игрушкой. Через два года он забудет о Вашем суще­ствовании». Как мне потом сказали некоторые ученики Гельфанда, ко­торые его хорошо знали, так бы оно и произошло. Поэтому я предпочел не рисковать и пошел по пути, ко­торый предложил Колмогоров, — на мехмат МГУ.

Примечания

(составлены М. Гельфандом)

1. Иван Матвеевич Виноградов -специалист по теории чисел, много лет был директором Математического института им. В.А. Стеклова, прославившись в этом качестве своим антисемитизмом.

2. B.M. Harvey et al. Topographic representation of numerosity in the human parietal cortex // Science. 2013. V. 341. P. 1123—1126.

3. Ю.И. Манин: «Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает». Троицкий вариант — Наука № 13 от 30.09.2008 (http://goo.gl/NMj1Gm).

4. Диагональ квадрата несоизмерима (не выражается дробью с целочисленным числителем и знаменателем) с его стороной; это эквивалентно иррациональности квадратного корня из двух.

5. В.А. Успенский, А.Л. Семенов. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука. 1987 — 288 с.

6. — основатель классической алгебры. От его прозвища «аль-Хорезми» (хорезмиец) происходит слово «алгоритм».

7. Three Olives, производится в Великобритании с 1998 года, но там не продается, а продается в США.

8. Альберт Швейцер. Иоганн-Себастьян Бах. Пер.: М. Друскин. М.: Музыка, 1964 — 728 с.

9. 6.1

10. Тернарная проблема Гольдбаха: каждое число большее или равное шести является суммой трех простых чисел.

11. Henri Leon Lebesgue — автор современной теории интегрирования (так называемый интеграл Лебега).

12. Nicolas Lusin. Legons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications. Gauthier-Villars, 1930. -P. xvi+328. (См. также В.А. Успенский. Вклад Н.Н. Лузина в дескриптивную теорию множеств и функций: понятия, проблемы, предсказания // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 85-116.).

13. А. Лебег. Предисловие к книге Н.Н. Лузина «Лекции об аналитических множествах и их приложениях» Пер. с французского В.В. Успенского // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. Вып. 3 (243). С. 9-14.

14. Михаил Яковлевич Суслин — автор (совместно с Н.Н. Лузиным) теории аналитических множеств (А-множеств).

15. Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ.

16. Ответ: «В аудитории найдется хотя бы один студент, который не знает ни баскского, ни чукотского языка».

17. Например, решим две задачи.

(1) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок и потом еще один. Какова вероятность, что носки составили пару одного цвета? Ответ: 1/3.

(2) В ящике лежат 2 черных носка и 2 серых. Из ящика (не глядя) вынимают носок, кладут обратно и потом опять вынимают носок. Какова вероятность, что были вынуты носки одного цвета? Ответ: ½.

18. В.А. Успенский. Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. Изд. 2е. М.: МЦНМО, 2012 — 48 с.

19. «Википедия». Статья «Лузин, Николай Николаевич».

все статьи по математическому образованию