Уравнения и неравенства с модулем

содержание справочника

1. При $a<0$ уравнение $|f(x)|=a$ не имеет корней
2. При $a=0$ уравнение $|f(x)|=a$ равносильно уравнению $f(x)=0$.
3. При $a>0$ уравнение $|f(x)|=a$ равносильно совокупности $\left[\begin{array}{l l} f(x)=a,\\ f(x)=-a\end{array}\right.$
4. $|f(x)|=g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l l} \left[\begin{array}{l l} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x)\end{array}\right. \\ g(x)\ge0\end{array}\right.$
5. $|f(x)|=|g(x)|$ $\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l l} f(x)=g(x),\\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.$
6. $|f(x)|=-|g(x)|$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l l} f(x)=0,\\ g(x)=0\end{array}\right.$
7. $|f(x)|\le|g(x)|$ $\Leftrightarrow$ $(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))\le0$
8. $|f(x)|\le g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l l} f(x)\le g(x),\\ f(x)\ge -g(x)\end{array}\right.$
9. $|f(x)|\ge g(x)$ $\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l l} f(x)\ge g(x),\\ f(x)\le -g(x)\end{array}\right.$

смотрите еще Справочник. Модуль и его свойства