Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите частное и остаток от деления многочлена $x^5+5x^3+6$ на многочлен $x^2+2x+3$.
2. При каких значениях параметров $p$, $q$ и $m$ многочлен $x^3+px+q$ делится на $x^2+mx-1$?
3. Некоторый многочлен при делении на $x-1$ дает остаток 3, а при делении на $x-2$ дает остаток 4. Найдите остаток от деления такого многочлена на $x^2-3x+2$.
4. Найдите рациональные корни многочлена $24x^5+10x^4-x^3-19x^2-5x+6$.
5. Найдите наибольший общий делитель многочленов $x^4+x^3-3x^2-4x-1$ и $x^3+x^2-x-1$.
6. Найдите сумму коэффициентов многочлена $(1+2x-4x^2)^{248}(1-7x+5x^2)^{345}$
7. Определите кратность корня, равного -2, многочлена $x^5+7x^4+16x^3+8x^2-16x-16$.
8. Найдите многочлен $P(x)$ наименьшей степени такой, что $P(1)=5$, $P(2)=6$, $P(3)=1$, $P(4)=-4$ и $P(6)=10$.
9. Представьте многочлен $-7x^3+18x62-12x$ в виде суммы кубов двух линейных функций.
10. Докажите, что многочлен $x^{2n}-nx^{n+1}+nx^{n-1}-1$ при $n>1$ имеет корень кратности 3.
11. Найдите сумму квадратов корней уравнения $x^3+4x^2-x-6=0$.
12. Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству $x\cdot P(x-1)=(x-26)\cdot P(x)$
13. Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1)=19$ и $P(19)=85$?