Высшая математика. Многочлены

Задачи для самостоятельного решения

  1. Найдите частное и остаток от деления многочлена x^5+5x^3+6 на многочлен x^2+2x+3.
  2. При каких значениях параметров p, q и m многочлен x^3+px+q делится на x^2+mx-1?
  3. Некоторый многочлен при делении на x-1 дает остаток 3, а при делении на x-2 дает остаток 4. Найдите остаток от деления такого многочлена на x^2-3x+2.
  4. Найдите рациональные корни многочлена 24x^5+10x^4-x^3-19x^2-5x+6.
  5. Найдите наибольший общий делитель многочленов x^4+x^3-3x^2-4x-1 и x^3+x^2-x-1.
  6. Найдите сумму коэффициентов многочлена (1+2x-4x^2)^{248}(1-7x+5x^2)^{345}
  7. Определите кратность корня, равного -2, многочлена x^5+7x^4+16x^3+8x^2-16x-16.
  8. Найдите многочлен P(x) наименьшей степени такой, что P(1)=5, P(2)=6, P(3)=1, P(4)=-4 и P(6)=10.
  9. Представьте многочлен -7x^3+18x62-12x в виде суммы кубов двух линейных функций.
  10. Докажите, что многочлен x^{2n}-nx^{n+1}+nx^{n-1}-1 при n>1 имеет корень кратности 3.
  11. Найдите сумму квадратов корней уравнения x^3+4x^2-x-6=0.
  12. Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству x\cdot P(x-1)=(x-26)\cdot P(x)
  13. Существует ли многочлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что P(1)=19 и P(19)=85?