В.И. Арнольд "Задачи для детей от 5 до 15 лет"
38. Вычислите сумму (с ошибкой ответа не более 1% от ответа)
39. Если два многоугольника имеют одинаковые площади, то их можно разрезать на конечное число многоугольных частей, перекладывая которые по-разному можно получить и один, и другой многоугольник (доказать!). [Для пространственных тел это неверно: куб и тетраэдр одинакового объема так разрезать нельзя!]
40. В вершинах клетчатой бумаги выбраны 4 вершины параллелограмма, и оказалось, что ни на сторонах, ни внутри его нет других точек пересечения линий клетчатой бумаги. Доказать, что площадь такого параллелограмма равна площади одной клеточки клетчатой бумаги.
41. В условиях задачи 40 внутри оказалось a точек пересечения, а на сторонах b. Найти площадь.
42. Верно ли аналогичное задаче 40 утверждение для параллелепипедов в пространстве?
43. Числа кроликов («Фибоначчи») образуют последовательность (a1 = 1), 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..., в которой an+2 = an+1 + an для всякого n = 1, 2, ... Найти наибольший общий делитель чисел a100 и a99.
44. Найти число (Каталана) разбиений выпуклого n-угольника на треугольники его непересекающимися диагоналями. Например, c(4) = 2, c(5) = 5, c(6) = 14. А как найти c(10)?
45. В турнире «на кубок» участвуют n команд, и проигравший выбывает, а после n − 1 игры остается победитель. Расписание турнира можно записать в виде символа вроде ((a, (b, c)), d) [b играет с c, победитель с a, победитель с d].
Сколько разных расписаний, если команд 10? Если команд 2 – только (a, b), число = 1.
Если команд 3 – только ((a, b), c), или ((a, c), b), или ((b, c), a), число = 3.
Если команд 4:
(((a, b), c), d) (((a, c), b), d) (((a, d), b), c) (((b, c), a), d) (((b, d), a), c) (((c, d), a), b) (((a, b), d), c) (((a, c), d), b) (((a, d), c), b) (((b, c), d), a) (((b, d), c), a) (((c, d), b), a) ((a, b), (c, d)) ((a, c), (b, d)) ((a, d), (b, c)).
46. Соединить n точек 1, 2, ..., n отрезками (их n − 1) так, чтобы получилось дерево. Сколько разных деревьев можно получить (при n = 5 уже интересно!)? 47. Перестановка чисел называется змеей (длины ), если . Найти число змей длины 10.
48. Обозначим через число змей длины : , , , , , . Докажите, что ряд Тейлора тангенса есть .
49. Вычислите сумму ряда .
50. Доказать при тождество (произведение по всем простым числам , сумма по всем натуральным числам ).
51. Вычислите сумму ряда (доказать, что она равна , то есть примерно 3/2.
52. Найти вероятность несократимости дроби (она определяется так: в круге считается число векторов с целыми и без общего делителя, большего 1, и затем вероятность несократимости - это предел отношения , где - число всех целых точек в круге (~.
53. Для последовательности чисел Фибоначчи задачи 43 найти предел отношения при стремлении к бесконечности: .
54. Вычислить бесконечную цепную дробь (найти предел дробей при ).
55. Найти многочлены , , , где .
56. Вычислить сумму k-х степеней всех n корней степени n из 1 (комплексных).
57. Нарисовать на плоскости (x, y) кривые, заданные параметрически , .
58. Вычислить (с ошибкой не более 10% ответа) .
59. Вычислить (с ошибкой не больше 10% ответа) .
60. Найти площадь треугольника с углами (α, β, γ) на сфере радиуса 1, стороны которого – окружности больших кругов (сечения сферы плоскостями, проходящими через ее центр).
61. Окружность радиуса r катится внутри круга по окружности радиуса 1 (без скольжения). Нарисовать всю траекторию одной из точек катящейся окружности (эта траектория называется гипоциклоидой) при r = 1/3, при r = 1/4, при r = 1/n, при r = 1/2.
62. В классе из n учеников оценить вероятность наличия двух учеников с одинаковыми днями рождения. Велика она или мала?
63. Закон Снелла (Снеллиуса) говорит, что угол α луча света с нормалью к слоям слоистой среды удовлетворяет уравнению n(y) sin α = const, где n(y) – «показатель преломления» слоя на высоте (величина n обратна величине скорости света в среде, считая скорость в пустоте за 1; в воде n = 4/3).
Нарисовать ход лучей в среде «воздух над пустыней», где показатель n(y) имеет максимум на некоторой высоте:
(решение этой задачи объясняет явление миража в пустыне тем, кто понимает, как ход лучей, идущих от предметов, связан с изображениями).
64. Вписать в остроугольный треугольник ABC треугольник KLM минимального периметра (с вершинами K на AB, L на BC, M на CA). У к а з а н и е: Для неостроугольных треугольников ответ получается непохожий на красивый ответ для остроугольных.
65. Вычислить среднее значение функции 1/r (где r2 = x2 + y2 + z2, r – расстояние от начала координат) по сфере радиуса R с центром в точке (X, Y, Z).
У к а з а н и е: Задача связана с законом всемирного тяготения Ньютона и с законом Кулона теории электричества.
В двумерном варианте задачи функцию нужно заменить на ln r, а сферу – на окружность.
смотрите раздел Математика