Решебник домашнего задания урока 13 В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задача 21

Рассмотрим решение задачи 21 домашнего задания 13 на тему: "Текстовые задачи. Движение". Условие задачи:

Из пункта А в пункт В выезжает автомобиль и одновременно из В в А с меньшей скоростью выезжает мотоцикл. Через некоторое время они встречаются, и в этот момент из В в А выезжает второй мотоцикл, который встречается с автомобилем в точке, отстоящей от точки встречи автомобиля с первым мотоциклом на расстоянии, равном 2/9 пути от А до В. Если бы скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, то расстояние между точками встречи равнялось бы 72 км и первая встреча произошла бы через 3 часа после выезда автомобиля из пункта А. Найти длину пути от А до В (скорости мотоциклов одинаковы).

Ответ должен быть 300 км, что совпадет с нашим ответом.

Пусть на отрезке AB точка C - место встречи автомобиля с первым мотоциклом, точка D - место встречи со вторым мотоциклом. Причем точка D находится между точками C и B. Если AB = $s$, скорость мотоцикла $V_M$, скорость автомобиля $V_A$, AC = $x$, то CD = $2s/9$, CB = $s-x$ и DB = $7s/9-x$. Так как по условию автомобиль и первый мотоцикл выехали одновременно, то $\frac{x}{V_A}=\frac{s-x}{V_M}$. То есть затраченное время каждым одинаково на путь до встречи. Аналогично для автомобиля и второго мотоцикла с момента первой встречи автомобиля до второй встречи: $\frac{2/9s}{V_A}=\frac{7/9s-x}{V_M}$.

Из первого уравнения выразим $x = \frac{V_As}{V_A+V_M}$ и подставим во второе. После упрощения получаем $\frac{2}{V_A}\cdot V_M=7-\frac{V_A}{V_A+V_M}$, то есть $2V_A^2-5V_AV_M+2V_M^2=0$. Разделим левую и правую части уравнения на $V_M^2$ и получим квадратное уравнение относительно $\frac{V_A}{V_M}$: $2(\frac{V_A}{V_M})^2-5\frac{V_A}{V_M}+2=0$. Находим, что $\frac{V_A}{V_M}=2$ или $\frac{V_A}{V_M}=\frac{1}{2}$. Так как по условию скорость мотоцикла меньше, то $V_A=2V_M$.

Далее рассмотрим случай, когда скорость автомобиля на 20 меньше. Точки C и D будут иметь тот же смысл, что и в первом случае. Пусть AC = y, CD = 72, DB = s- y -72, CB = s - y. Тогда можно составить уравнения: $\frac{y}{V_A-20}=3$, $\frac{y}{V_A-20}=\frac{s-y}{V_M}$ и $\frac{72}{V_A-20}=\frac{s-y-72}{V_M}$.  Из первого и второго уравнений выражаем y и приравниваем: $6(V_M-10)=\frac{2s(V_M-10)}{3V_M-20}$, откуда $V_M=\frac{s+60}{9}$.

Далее в третье уравнение подставляем найденные выражения так, чтобы осталась только неизвестная s:  $\displaystyle\frac{36}{\frac{s+60}{9}-10}=\displaystyle\frac{s-6(\frac{s+60}{9}-10)-72}{\frac{s+60}{9}}$. Получаем $\displaystyle\frac{36}{s-30}=\displaystyle\frac{9s-6s+180-648}{9(s+60)}$, откуда $s^2-294s-1800=0$ и $s=300$.

Список домашний заданий и их решений здесь. Спасибо за внимание.