Всероссийская олимпиада по математике 2015. Окружной этап

условия 9-11 классов

5 класс

1. К некоторому числу прибавили сумму его цифр и получили 2014. Приведите пример такого числа.

2. Волк, Ёж, Чиж и Бобёр делили апельсин. Ежу досталось вдвое больше долек, чем Чижу, Чижу —впятеро меньше, чем Бобру, а Бобру —на 8 долек больше, чем Чижу. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Волку досталась только кожура.
3. В семиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл тысячный домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло? Ответ объясните.
4. Полина решила раскрасить свой клетчатый браслет размером 10×2 (см. рисунок слева) волшебным узором из одинаковых фигурок (см. рисунок справа), чередуя в них два цвета. Помогите ей это сделать. (Изобразите ответ на полоске, являющейся разверткой браслета.) 
5. После хоккейного матча Антон сказал, что он забил 3 шайбы, а Илья только одну. Илья сказал, что он забил 4 шайбы, а Серёжа целых 5. Серёжа сказал, что он забил 6 шайб, а Антон всего лишь две. Могло ли оказаться так, что втроём они забили 10 шайб, если известно, что каждый из них один раз сказал правду, а другой раз солгал? Ответ объясните.

6 класс

1. На листе в клетку нарисован прямоугольник 6×7. Разрежьте его по линиям сетки на 5 каких-нибудь квадратов.

2. Найдите все решения ребуса: АРКА + РКА + КА + А = 2014.
   (Различным буквам соответствуют различные цифры, а одинаковым буквам — одинаковые цифры.)

3. В каждом из трех сундуков Али-Баба нашел золотые и серебряные монеты; всего 40 золотых и 40 серебряных монет. В первом сундуке золотых монет было на 7 больше, чем серебряных, во втором —серебряных на 15 меньше, чем золотых. Каких монет больше в третьем сундуке и на сколько? Ответ объясните.

4. Рамка для трёх квадратных фотографий имеет везде одинаковую ширину (см. рисунок). Периметр одного отверстия равен 60 см, периметр всей рамки равен 180 см. Чему равна ширина рамки?

   

5. Среднее арифметическое четырех чисел равно 10. Если вычеркнуть одно из этих чисел, то среднее арифметическое оставшихся трех увеличится на 1, если вместо этого вычеркнуть другое число, то среднее арифметическое оставшихся чисел увеличится на 2, а если вычеркнуть только третье число, то среднее арифметическое оставшихся увеличится на 3. На сколько изменится среднее арифметическое трех оставшихся чисел, если вычеркнуть четвертое число?

7 класс

1. В тридевятом царстве есть только два вида монет: 16 и 27 тугриков. Можно ли заплатить за одну тетрадку ценой в 1 тугрик и получить сдачу?
2. Соедините точки A и B (см. рисунок) ломаной из четырех отрезков одинаковой длины так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия: 1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек; 2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек; 3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой. (Достаточно привести один пример.)
   
3.  Уюного художника была одна банка синей и одна банка желтой краски, каждой из которых хватает на покраску 38 дм² площади. Использовав всю эту краску, он нарисовал картину: синее небо, зеленую траву и желтое солнце. Зеленый цвет он получал, смешивая две части желтой краски и одну часть синей. Какая площадь на его картине закрашена каждым цветом, если площадь травы на картине на 6 дм² больше, чем площадь неба?
4. Биолог последовательно рассаживал 150 жуков в десять банок. Причем в каждую следующую банку он сажал жуков больше, чем в предыдущую. Количество жуков в первой банке составляет не менее половины от количества жуков в десятой банке. Сколько жуков в шестой банке?
5. Можно ли в кружках (см. рисунок) разместить различные натуральные числа таким образом, чтобы суммы трех чисел вдоль каждого отрезка оказались равными? 

8 класс

1. Графики трех функций y = ax + a, y = bx + b и y = cx + d имеют общую точку, причем a
   $\ne$ b. Обязательно ли c = d? Ответ обоснуйте.
2. Из клетчатой бумаги вырезана прямоугольная рамка (см. рисунок). Ее разрезали по границам клеток на девять частей и сложили из них квадрат 6×6. Могли ли все части, полученные при разрезании, оказаться различными? (При складывании квадрата части можно переворачивать.) 
3. Вершину A параллелограмма ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол BAD: острым, прямым или тупым.
4. Три пирата вечером поделили добытые за день бриллианты: по двенадцать Биллу и Сэму, а остальные — Джону, который считать не умел. Ночью Билл у Сэма, Сэм у Джона, а Джон у Билла украли по одному бриллианту. В результате средняя масса бриллиантов у Билла уменьшилась на один карат, у Сэма уменьшилась на два карата, зато у Джона увеличилась на четыре карата. Сколько бриллиантов досталось Джону?
5. В треугольнике ABC угол B равен 120◦, AB = 2BC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает AC в точке D. Найдите отношение AD : DC.
6. Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать «за», «против» или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу «Блестит ли золото?» все гномы проголосовали «за», а по вопросу «Страшен ли Дракон?» Торин воздержался. Сколько могло быть гномов? (Опишите все возможности и докажите, что других нет.)

Ответы

5 класс

1. 1988 и 2006
2. 16 долек
3. на 4 этаже
4. .
5. нет, не могло

6 класс

2. 1471+471+71+1=2014
3. серебряных монет на 22 больше
4. 5 см
5. уменьшится на 6