Олимпиада САММАТ-2015 8 класс по математике

Заключительный этап

1. Докажите, что при любом $n>1$ число $\displaystyle 2^{2^n}+2^{2^{n-1}}+1$ - составное

2. Придумайте наибольшее (и наименьшее) число, делящееся на 11, в записи которого используются все десять цифр по одному разу.
3. В двух противоположных углах коробки размером 30см×30см×10см сидят муха и паук. Паук может двигаться к мухе кратчайшим путем двумя способами: по двум боковым граням или сначала по боковой, потом по верхней грани. Какой из этих путей короче?
4. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2015  часть чисел красным мелом, часть  синим. Наибольшее синее число равно количеству синих чисел, наименьшее красное число в семь раз меньше количества красных чисел. Сколько красных чисел написано на доске?
5. У короля было 4 сына и 864 млн. фартингов. Король поделил все свои миллионы между сыновьями. Сыновья его поехали в разные страны. Первый в пути 6 млн. потерял, второй 6 млн. заработал, у третьего миллионов в два раза больше стало, а у четвертого в два раза меньше. Через три года оказалось, что у всех миллионов осталось поровну. Сколько?
6. На какую наибольшую степень тройки делится произведение 3 · 33 · ·333 · . . . ·3333333333? (В последнем множителе 10 троек.)
7. Найдите произведение O·X·A, если известно, что XAXAXA+XOXOXO делится на 2015.
8. В шахматном турнире участвовало 20 школьников. Каждый сыграл с каждым по одной партии. После окончания турнира оказалось, что ровно один ученик набрал 9,5 очков и он занял девятнадцатое место. Мог ли победитель турнира обойти игрока, занявшего второе
   место, на 1 очко?
9. Четыре коммерческих банка вкладывают деньги в предприятие. Если бы только первый банк удвоил сумму своего вклада, то всего в предприятия банками окажутся вложенными 11 млн. рублей, если это сделает только второй банк  12 млн., если только третий 13 млн., а если только четвертый  14 млн. рублей. Сколько денег вложил в предприятие каждый банк?

10. На клетчатой бумаге отметили 5 точек, расположенных в узлах клеток. Доказать, что хотя бы один из отрезков, соединяющих эти точки, проходит через узел клетки.

перейти к другим олимпиадам

Ответы

1.  -
2. 9875634120, 1024375869
3. второй
4. 1764
5. 192 млн фартингов
6. 14 степень
7. 378
8. не мог
9. 1,2,3,4 млн руб.
10. -