Диагностическая работа по математике

10 класс  (профильный уровень)

20 мая 2015 г, вариант МА00613

Условия задач, ответы и решения

Инструкция по выполнению работы

На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 15 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 содержит 7 заданий повышенного и высокого уровней сложности с развернутым ответом. Ответы к заданиям 1-8 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий 9-15 требуется записать полное решение на отдельном листе бумаги. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. Желаем успеха!

Часть 1

Ответом к каждом из заданий 1-8 является конечная десятичная дробь, целое число или последовательность цифр. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.

1. Из множества натуральных чисел от 73 до 97 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? Решение

2. В равнобедренном треугольнике внешний угол, смежный с углом при основании, равен 123^о. Найдите угол треугольника, лежащий напротив основания. Ответ дайте в градусах. Решение

Выполните только одно из заданий 3.1 или 3.2

3.1 Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображен график ее движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат - расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.  Решение

3.2 На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ Решение

4. На рисунке изображен многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите площадь поверхности многогранника. Решение

5. Найдите $\cos\alpha$, если $\sin\alpha=-\displaystyle\frac{2\sqrt{6}}{5}$ и $\alpha\in (\pi; \frac{3\pi}{2})$ Решение

6. www.itmathrepetitor.ru В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\displaystyle\frac{t}{T}}$, где $m_0$ - начальная масса изотопа, $t$ - время, прошедшее от начального момента, $T$ - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа равна $40$ мг. Период его полураспада составляет $10$ мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $10$ мг. Решение

7. Смешали некоторое количество 18-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 20-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение

8. Найдите наибольшее значение функции $y=\sqrt{8+\cos^2 x}$ на отрезке $[-\displaystyle\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{6}]$. Решение

Часть 2

9. а) Решите уравнение $2\sin(\pi+x)\cdot\sin(\displaystyle\frac{\pi}{2}+x)=\sin x$. Решение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\pi; \displaystyle\frac{9\pi}{2}]$.

10. В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной, равно 6. Сечение пирамиды проходит через вершину B и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру. а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к ее основанию равен 60^о. б) Найдите площадь сечения пирамиды.

11.1 Решите неравенство $\log_{(x+4)^2}(3x^2-x-1)\le 0$.

11.2 Решите неравенство $\displaystyle\frac{-2x^2+23x-11}{x+2x^2-1}\ge\frac{x+1}{x-1}$

12. www.itmathrepetitor.ru Дана окружность с центром в точке О и радиусом 5. Точка К делит диаметр АD в отношении 1 : 4, считая от точки D. Через точку К проведена хорда ВС перпендикулярно диаметру AD. На меньшей дуге АВ окружности взята точка М. а) Докажите, что $BM\cdot CM<BA^2$. б) Найдите площадь четырехугольника ACBM, если дополнительно известно, что площадь треугольника BCM равна 24.

13. В июле планируется взять кредит на сумму 69 510 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга. На сколько рублей больше придется отдать в случае. если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если когда будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

14. Найдите все значения $a\in [-1;0]$, при каждом из которых хотя бы одно значение $x$, удовлетворяющее условию $-3<x<-2,5$ является решением уравнения $|x-3a|+|x-5a|=-2a$.

15. www.itmathrepetitor.ru Конечная последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ состоит из $n\ge 3$ необязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных $k\le n-2$ выполнено равенство $a_{k+2}=2a_{k+1}-a_k-1$. а) Приведите пример такой последовательности при $n=5$, в которой $a_5=4$. б) Может ли в такой последовательности некоторое натуральное число встретиться три раза? в) При каком наибольшем $n$ такая последовательность может состоять только из двузначных чисел?

@CтатГрад

смотрите еще Итоговая работа по математике 10 класс 2015

Ответы

1.  0,32
2. 66^о
3.1. 0,8
3.2. 1,4
4. 74
5. -0,2
6. 20
7. 19
8. 3
9. а) $\pi n, n\in Z; \pm2\pi/3+2\pi n, n\in Z$ б) $3\pi; 4\pi; 10\pi/3$
10. б)
11.1. $(-5; -4)\cup(-4;-3)\cup ((1+\sqrt{13})/6; 1]$
11.2. $(-1; -1/2)\cup (1/2; 1)\cup [2;3]$
12.
13. 3751
14.
15.