Решение итоговой работы по математике

8 класс, 2015 г

Условия задач здесь

1. Применим свойства $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$ и $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$. Тогда $(a^2)^5\cdot a^{-8}=a^{10}\cdot a^{-8}=a^2$. После подстановки $a=-3$ получаем, что $(-3)^2=9$. Типичная ошибка: вместо $(-3)^2$ записать $-3^2$, что оказывается равным $-9$, так как в квадрат возводится только число $3$. Это материал сайта www.itmathrepetitor.ru

2. Так как $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ при условии, что все подкоренные выражения неотрицательны, то $\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 4}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{4}=2\cdot 2=4$. Далее заметим, что $\sqrt{25}=5$ (не $-5$!) и $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$, и в результате получим, что $2\cdot 5-2\cdot 2=6$.

3.1. Это материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Можно добросовестно решить данное квадратное уравнение с помощью формул для корней через дискриминант. Подробности смотрите здесь. Но лучше применить теорему Виета, согласно которой сумма корней уравнения равна $3$, то есть коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, деленному на коэффициент при $x^2$, равный 1. Строго говоря, в таком решение кроется коварная ошибка: теорему Виета можно применять только если корни существуют. Поэтому сначала необходимо убедиться, что дискриминант уравнения неотрицателен. Мы же этот этап пропустили (будем считать, что проверили устно).

3.2 Так как правая часть уравнения равна нулю, то разложим левую часть уравнения на множители $x\cdot(5x^2-3x-2)=0$. Так как произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю и уравнение распадается на две более простых случая: или $x=0$, или $5x^2-3x-2=0$. Во втором уравнении дискриминант $D=3^2-4\cdot (-2)\cdot 5=49$ и $x=\displaystyle\frac{3\pm7}{10}$, откуда $x=1$ или $x=-\displaystyle\frac{2}{5}$. Исходное уравнение имеет три корня $0$, $1$ и $-\displaystyle\frac{2}{5}$. Наибольший из них равен $1$. Заметим, что часть работы можно было сократить, если в процессе решения помнить, что нужен только наибольший корень. Например, при поиске корней квадратного уравнения стоит искать только один корень по формуле $\displaystyle\frac{3+7}{10}$, так как второй корень заведомо будет меньше этого первого.

4. Это материал сайта www.itmathrepetitor.ru. По теореме Пифагора для треугольника ABC катет АС равен $\sqrt{(\sqrt{136})^2-10^2}=\sqrt{136-100}=6$. Так как средняя линия равна половине параллельной стороны (следует из подобия треугольников), то MN равно $3$.

5. 1) Нет, так как один из углов при основании равен $90^o$, а если и второй угол при основании будет равен $90^o$, то данная фигура окажется прямоугольником, а не трапецией. Напомню, что по определению в трапеции не может быть двух пар параллельных сторон. Поэтому говорить, что прямоугольник - это частный случай трапеции, ошибочно.

2) Да, так как диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника. То есть у этих треугольников углы при гипотенузе равны.

3) Да, так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали равны, то они делят ромб на четыре прямоугольных равнобедренных треугольника, острые углы которых равны 45^о. Осталось вспомнить, что диагонали являются биссектрисами углов ромба. Это материал сайта www.itmathrepetitor.ru.

4) Нет. Например, треугольник с углами 120^о, 30^о, 30^о, в котором 30^o+30^o<120^o. Конечно, осталось доказать, что такой треугольник существует (это необходимости для строгости, но излишне для решения данной итоговой работы). И небольшое замечание по условию: "В любом треугольнике сумма двух углов больше третьего". Здесь не совсем понятно: сумма любых двух углов или сумма каких-то двух углов. Строго говоря, без этих слов условие задачи некорректно, то есть не является математическим утверждением.

6.1 Это материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Количество способов выбрать произвольный билет равно 30. Количество способов выбрать билет по теме "Динамика" равно 30-12=18. Тогда искомая вероятность равна $\displaystyle\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$. Теорию и задачи с решениями по классической вероятности можно посмотреть здесь.

6.2  Это материал сайта www.itmathrepetitor.ru. Найдем вероятность $P$ того, что ни один из лифтов не находится на первом этаже. То есть рассмотрим противоположное событие для события "Хотя бы один лифт находится на первом этаже". Тогда искомая вероятность будет равна $1-P$, так как противоположные события образуют полную группу событий и сумма их вероятностей равна 1. По правилу произведения вероятность события "Ни один из лифтов не находится на первом этаже" равна $(1-0,5)\cdot(1-0,5)\cdot (1-0,5)=(1-0,5)^3=\displaystyle\frac{1}{8}$, так как вероятность того, что данный лифт не окажется на первом этаже, равна $1-0,5$. Тогда искомая вероятность равна $1-\displaystyle\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$. Теорию и задачи с решениями по классической вероятности можно посмотреть здесь.

10. Если 15% школьников ответили, что они из многодетных семей, то 100 - 15 = 85% школьников ответили, что они не из многодетных семей. То есть 510 учеников составляют 85 % от общего количества детей в школе. Тогда 100% составляют $\displaystyle\frac{510\cdot 100}{85}=600$ учеников. Хотя по условию не сказано, но мы считали, что ответы школьников были только двух видов.  Задачи с решениями на проценты можно разобрать здесь.

11. Если дано четыре числа $a,b,c,d$, то возможны сравнения  $a$ и $b$, $c$ и $d$ и так далее (всего 6 пар). Чтобы не оформлять каждое сравнение, стоит сначала на черновике выяснить ответ и затем привести доказательство лишь трех неравенств. Например, если ответ $a<c<d<b$, то достаточно сравнить $a$ и $c$, $?$ и $d$, $d$ и $b$.
Приступим к решению данной задачи. Докажем, что $3,2<\sqrt{(3,5)^2}<3\sqrt{2}<\sqrt{21}$.
Еще раз повторю: ответ был найден сначала на черновике, а при оформлении все тупиковые и лишние фрагменты черновика не упоминаются, из-за чего решение получается с оттенком волшебства.
Так как $\sqrt{x^2}=|x|$, то $\sqrt{(3,5)^2}=|3,5|=3,5$. Далее вспомним, что если в неравенстве $a<b$ выражения $a$ и $b$ неотрицательны, то возведение в квадрат его левой и правой частей приведет к равносильному неравенству $a^2<b^2$. Поэтому осталось убедиться, что $3,5^2<18$ и $18<21$. Первое неравенство преобразуется к виду $\displaystyle\frac{49}{4}<18$, что равносильно $49<72$. Материал www.itmathrepetitor.ru.