Как решать квадратные уравнения
Алгоритм решения квадратного уравнения
Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.
Шаг 1: Записываем уравнение в стандартном виде
В общем виде квадратное уравнение можно записать так:
Здесь - любое ненулевое число, - любые числа, a - то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, - квадратное уравнение в стандартном виде, причем , и . Число называют старшим коэффициентом, число - свободным коэффициентом. А все выражение вида называют квадратным трехчленом.
Типичная ошибка: считать, что , то есть забыть про знак "-".
Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения можно уменьшить в раза. Уравнение примет вид . Числа , и , естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.
Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, . Раскрываем скобки: . Приводим подобные слагаемые: . Переносим все слагаемые из правой части в левую: (повторю: такие слагаемые меняют свой знак). И опять приводим подобные слагаемые: . Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем , и .
Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.
Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, . И кажется, что , и . На самом деле, , и .
Интересный случай: предположим, что получилось уравнение . Чему равно ? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: .
Интересный случай: дано уравнение . Мы смело раскрываем скобки и переносим и из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение . Нет ! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием "Линейное уравнение".
Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на . Например, заменим на . По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.
Шаг 2: Находим дискриминант.
У нас есть квадратное уравнение в виде . Вычисляем число , которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения дискриминант равен .
Типичная ошибка: часто вместо пишут , то есть забывают скобки, но это уже , а не .
Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты , и
Типичная ошибка: в слагаемом неправильно определяют окончательный знак. Например, в все-таки в итоге получается , а не .
Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.
Шаг 3: Находим корни уравнения
У нас есть дискриминант . Далее все зависит от его знака.
Если , то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении дискриминант равен . Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение вместо никогда не даст . Проверим число , например: . Не ноль. То есть - не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.
Если , то . Числа и - это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении дискриминант . Тогда . Ответ: .
Типичная ошибка: неправильно подставляют в формулу . Ошибаются со знаком. Ведь если , например, то .
Если . То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам и . Например, в уравнении дискриминант . Тогда и . Так как , то и . Ответ: .
Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: .
Замечание: иногда дискриминант может оказаться "некрасивым", например, . Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида .
Типичная ошибка: неправильно находят . Например, считают, что . На самом деле, . Отрицательным выражение быть не может (по определению арифметического квадратного корня).
Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.
Полный пример решения квадратного уравнения.
Условие
Решить уравнение
Решение
Согласно алгоритму, раскрываем скобки: .
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: . Приводим подобные слагаемые и переносим в левую часть уравнения: .
Изменим знак : .
Находим дискриминант. Так как , и , то . Дискриминант , поэтому у уравнения два корня: и .
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь .
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: .
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях - и весь труд в итоге напрасен.
Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
Номера 41, 42, 43, 51, 52, 53 (ответы находятся после условий)