Математика. Как решать квадратные уравнения

Как решать квадратные уравнения

квадратное уравнение

Алгоритм решения квадратного уравнения

Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.

Шаг 1:  Записываем уравнение в стандартном виде

В общем виде квадратное уравнение можно записать так:

ax^2+bx+c=0

Здесь a - любое ненулевое число, b,c  - любые числа, a x - то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, 2x^2-10x+20=0 - квадратное уравнение в стандартном виде, причем a=2, b=-10 и c=20. Число a называют старшим коэффициентом, число c - свободным коэффициентом. А все выражение вида ax^2+bx+c называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что b=10, то есть забыть про знак "-".

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения 2x^2-10x+20=0 можно уменьшить в 2 раза. Уравнение примет вид x^2-5x+10=0. Числа a, b и c, естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение  к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, 2x(x-1)+x=4(x-2)+2. Раскрываем скобки: 2x^2-2x+x=4x-8+2. Приводим подобные слагаемые: 2x^2-x=4x-6. Переносим все слагаемые из правой части в левую: 2x^2-x-4x+6=0 (повторю: такие слагаемые меняют свой знак).  И опять приводим подобные слагаемые: 2x^2-5x+6=0. Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем a=2, b=-5 и c=6.

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, x^2-3+4x=0. И кажется, что a=1, b=-3 и c=4. На самом деле, a=1, b=4 и c=-3.

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение 3x^2-3=0. Чему равно b? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: b=0.

Интересный случай: дано уравнение x(x+1)-2=x^2+2x. Мы смело раскрываем скобки и переносим x^2 и 2x из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение -x-2=0.  Нет x^2! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием "Линейное уравнение".

Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент a положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на -1. Например, -3x^2+4x-10=0 заменим на 3x^2-4x+10=0. По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать a положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде ax^2+bx+c=0. Вычисляем число D=b^2-4ac, которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения 2x^2-3x+1=0 дискриминант равен D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1.

Типичная ошибка: часто вместо (-3)^2 пишут  -3^2, то есть забывают скобки, но это уже -9, а не 9.

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты a, b и c

Типичная ошибка: в слагаемом -4ac неправильно определяют окончательный знак. Например, в -4\cdot (-1)\cdot (-3) все-таки в итоге получается -12, а не 12.

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант D. Далее все зависит от его знака.

Если D<0, то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении x^2-x+1=0 дискриминант равен -3<0. Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение x^2-x+1 вместо x никогда не даст 0. Проверим число 2, например: 2^2-2+1=4-2+1=3. Не ноль. То есть 2 - не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если D=0, то x=\displaystyle\frac{-b}{2a}. Числа a и b - это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении x^2-4x+4=0 дискриминант D=0. Тогда x=\displaystyle\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2. Ответ: 2.

Типичная ошибка: неправильно подставляют b в формулу \displaystyle\frac{-b}{2a}. Ошибаются со знаком. Ведь если b=-3, например, то -b=3.

Если D>0. То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам x=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} и x=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}. Например, в уравнении x^2-5x+6=0 дискриминант D=1>0. Тогда x=\displaystyle\frac{5-\sqrt{1}}{2\cdot 1} и x=\displaystyle\frac{5+\sqrt{1}}{2\cdot 1}. Так как \sqrt{1}=1, то x=2 и x=3. Ответ: 2; 3.

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: x=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}.

Замечание: иногда дискриминант может оказаться "некрасивым", например, D=137. Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида -3\sqrt{2}\pm\sqrt{137}.

Типичная ошибка: неправильно находят \sqrt{D}. Например, считают, что \sqrt{D}=\sqrt{9}=\pm 3. На самом деле, \sqrt{9}=3. Отрицательным выражение\sqrt{D} быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

Полный пример решения квадратного уравнения.

Условие

Решить уравнение (2x+7)(7-2x)-x(x+2)=47

Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: 2x\cdot 7+2x\cdot (-2x)+7\cdot 7+7\cdot (-2x)-x\cdot x-x\cdot 2=47.
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: 14x-4x^2+49-14x-x^2-2x=47. Приводим подобные слагаемые и переносим 47 в левую часть уравнения: -5x^2-2x+49-47=0\Leftrightarrow -5x^2-2x+2=0.
Изменим знак a: 5x^2+2x-2=0.
Находим дискриминант. Так как a=5, b=2 и c=-2, то D=2^2-4\cdot 5\cdot (-2)=4+40=44. Дискриминант D>0, поэтому у уравнения два корня: x=\displaystyle\frac{-2+\sqrt{44}}{10} и x=\displaystyle\frac{-2-\sqrt{44}}{10}.
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь \sqrt{44}=\sqrt{4\cdot 11}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{11}=2\sqrt{11}.
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{11}}{5}.
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях - и весь труд в итоге напрасен.
Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.

Ответ:  \displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{11}}{5}

Задачи для самостоятельного решения

Номера 41, 42, 43, 51, 52, 53  (ответы находятся после условий)

все статьи по математике