Как решать квадратное уравнение

Как решать квадратные уравнения

Алгоритм решения квадратного уравнения

Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.

Шаг 1: Записываем уравнение в стандартном виде

В общем виде квадратное уравнение можно записать так:

$ax^2+bx+c=0$

Здесь $a$ - любое ненулевое число, $b,c$ - любые числа, a $x$ - то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, $2x^2-10x+20=0$ - квадратное уравнение в стандартном виде, причем $a=2$ , $b=-10$ и $c=20$ . Число $a$ называют старшим коэффициентом, число $c$ - свободным коэффициентом. А все выражение вида $ax^2+bx+c$ называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что $b=10$ , то есть забыть про знак "-".

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения $2x^2-10x+20=0$ можно уменьшить в $2$ раза. Уравнение примет вид $x^2-5x+10=0$ . Числа $a$ , $b$ и $c$ , естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, $2x(x-1)+x=4(x-2)+2$ . Раскрываем скобки: $2x^2-2x+x=4x-8+2$ . Приводим подобные слагаемые: $2x^2-x=4x-6$ . Переносим все слагаемые из правой части в левую: $2x^2-x-4x+6=0$ (повторю: такие слагаемые меняют свой знак). И опять приводим подобные слагаемые: $2x^2-5x+6=0$ . Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем $a=2$ , $b=-5$ и $c=6$ .

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, $x^2-3+4x=0$ . И кажется, что $a=1$ , $b=-3$ и $c=4$ . На самом деле, $a=1$ , $b=4$ и $c=-3$ .

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение $3x^2-3=0$ . Чему равно $b$ ? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: $b=0$ .

Интересный случай: дано уравнение $x(x+1)-2=x^2+2x$ . Мы смело раскрываем скобки и переносим $x^2$ и $2x$ из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение $-x-2=0$ . Нет $x^2$ ! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием "Линейное уравнение".

Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент $a$ положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на $-1$ . Например, $-3x^2+4x-10=0$ заменим на $3x^2-4x+10=0$ . По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать $a$ положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде $ax^2+bx+c=0$ . Вычисляем число $D=b^2-4ac$ , которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения $2x^2-3x+1=0$ дискриминант равен $D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$ .

Типичная ошибка: часто вместо $(-3)^2$ пишут $-3^2$ , то есть забывают скобки, но это уже $-9$ , а не $9$ .

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты $a$ , $b$ и $c$

Типичная ошибка: в слагаемом $-4ac$ неправильно определяют окончательный знак. Например, в $-4\cdot (-1)\cdot (-3)$ все-таки в итоге получается $-12$ , а не $12$ .

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант $D$ . Далее все зависит от его знака.

Если $D<0$ , то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении $x^2-x+1=0$ дискриминант равен $-3<0$ . Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение $x^2-x+1$ вместо $x$ никогда не даст $0$ . Проверим число $2$ , например: $2^2-2+1=4-2+1=3$ . Не ноль. То есть $2$ - не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если $D=0$ , то $x=\displaystyle\frac{-b}{2a}$ . Числа $a$ и $b$ - это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении $x^2-4x+4=0$ дискриминант $D=0$ . Тогда $x=\displaystyle\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2$ . Ответ: $2$ .

Типичная ошибка: неправильно подставляют $b$ в формулу $\displaystyle\frac{-b}{2a}$ . Ошибаются со знаком. Ведь если $b=-3$ , например, то $-b=3$ .

Если $D>0$ . То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам $x=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$ и $x=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ . Например, в уравнении $x^2-5x+6=0$ дискриминант $D=1>0$ . Тогда $x=\displaystyle\frac{5-\sqrt{1}}{2\cdot 1}$ и $x=\displaystyle\frac{5+\sqrt{1}}{2\cdot 1}$ . Так как $\sqrt{1}=1$ , то $x=2$ и $x=3$ . Ответ: $2; 3$ .

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: $x=\displaystyle\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ .

Замечание: иногда дискриминант может оказаться "некрасивым", например, $D=137$ . Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида $-3\sqrt{2}\pm\sqrt{137}$ .

Типичная ошибка: неправильно находят $\sqrt{D}$ . Например, считают, что $\sqrt{D}=\sqrt{9}=\pm 3$ . На самом деле, $\sqrt{9}=3$ . Отрицательным выражение $\sqrt{D}$ быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

Полный пример решения квадратного уравнения.

Условие

Решить уравнение $(2x+7)(7-2x)-x(x+2)=47$

Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: $2x\cdot 7+2x\cdot (-2x)+7\cdot 7+7\cdot (-2x)-x\cdot x-x\cdot 2=47$ .
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: $14x-4x^2+49-14x-x^2-2x=47$ . Приводим подобные слагаемые и переносим $47$ в левую часть уравнения: $-5x^2-2x+49-47=0$ $\Leftrightarrow -5x^2-2x+2=0$ .
Изменим знак $a$ : $5x^2+2x-2=0$ .
Находим дискриминант. Так как $a=5$ , $b=2$ и $c=-2$ , то $D=2^2-4\cdot 5\cdot (-2)=4+40=44$ . Дискриминант $D>0$ , поэтому у уравнения два корня: $x=\displaystyle\frac{-2+\sqrt{44}}{10}$ и $x=\displaystyle\frac{-2-\sqrt{44}}{10}$ .
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь $\sqrt{44}=\sqrt{4\cdot 11}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{11}=2\sqrt{11}$ .
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: $x=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{11}}{5}$ .
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях - и весь труд в итоге напрасен.
Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.