Математика. Вступительный экзамен МТУСИ 1997

Вариант вступительных экзаменов по математике в Московский технический университет связи и информатики

МТУСИ, 1997 г.

  1. Решите уравнение \sqrt{2-|3-x|}=2x-7
  2. Решите неравенство \log_2\log_{1/2}\frac{x+1}{x-3}\geq 1
  3. Докажите тождество \sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\cdot\sin (\alpha-\beta)
  4. Найдите целочисленные решения системы уравнений \left\{\begin{array}{l l} \frac{1}{x^2+y^2}+2xy=\frac{21}{5},\\ \frac{1}{2xy}+x^2+y^2=\frac{21}{4} \end{array}\right..
  5. При каких a уравнение 2^{4x}+a\cdot 2^{3x}-5\cdot 2^{2x}+a\cdot 2^{x}+1=0 имеет единственное решение? Найдите это решение.
  6.  Найдите расстояние между прямыми, заданными уравнениями y=2x+1 и y=2x-4.
  7. При каких положительных x числа arcctg(3+\cos x) и arctg(4-\cos x) являются величинами двух углов некоторого прямоугольного треугольника?
  8. Решите уравнение |x-|4-x||-2x=4
  9. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проработал 2 ч, а второй 5 ч, оказалось, что они выполнили половину всей работы. Проработав совместно еще 3 часа, они установили, что им осталось выполнить 0,05 всей работы. За какой промежуток времени каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
  10. Решите неравенство |x-y|<2 и дайте геометрическую интерпретацию.

Ответы

  1. 4
  2. [-7/3; -1)
  3. (2; 1), (1;2), (-2;-1), (-1;-2)
  4. a = 3/2; x=0
  5. \sqrt{5}
  6. \pi/3+2n\pi, 5\pi/3+2n\pi, n=0,1,2,\ldots
  7. 0
  8. 12 ч и 15 ч