Вариант вступительных экзаменов по математике в Московский технический университет связи и информатики

МТУСИ, 1997 г.

1. Решите уравнение $\sqrt{2-|3-x|}=2x-7$
2. Решите неравенство $\log_2\log_{1/2}\frac{x+1}{x-3}\geq 1$
3. Докажите тождество $\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\sin(\alpha+\beta)\cdot\sin (\alpha-\beta)$
4. Найдите целочисленные решения системы уравнений $\left\{\begin{array}{l l} \frac{1}{x^2+y^2}+2xy=\frac{21}{5},\\ \frac{1}{2xy}+x^2+y^2=\frac{21}{4} \end{array}\right.$.
5. При каких $a$ уравнение $2^{4x}+a\cdot 2^{3x}-5\cdot 2^{2x}+a\cdot 2^{x}+1=0$ имеет единственное решение? Найдите это решение.
6.  Найдите расстояние между прямыми, заданными уравнениями $y=2x+1$ и $y=2x-4$.
7. При каких положительных $x$ числа $arcctg(3+\cos x)$ и $arctg(4-\cos x)$ являются величинами двух углов некоторого прямоугольного треугольника?
8. Решите уравнение $|x-|4-x||-2x=4$
9. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проработал 2 ч, а второй 5 ч, оказалось, что они выполнили половину всей работы. Проработав совместно еще 3 часа, они установили, что им осталось выполнить 0,05 всей работы. За какой промежуток времени каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?
10. Решите неравенство $|x-y|<2$ и дайте геометрическую интерпретацию.

Ответы

1. 4
2. [-7/3; -1)
4. (2; 1), (1;2), (-2;-1), (-1;-2)
5. a = 3/2; x=0
6. $\sqrt{5}$
7. $\pi/3+2n\pi, 5\pi/3+2n\pi, n=0,1,2,\ldots$
8. 0
9. 12 ч и 15 ч