Ткачук. Сведение к квадратным уравнениям. Решение домашнего задания урока 1. Задачи 1-5

Решебник домашнего задания урока 1
В.В. Ткачук  "Математика - абитуриенту"

Задачи 1 - 5

Обложка книги

Приступим к разбору домашнего задания первого урока. Сразу замечу, что задачи идут не по возрастанию сложности (и не по убыванию). А сам принцип, по которому определялся порядок задач в списке, я не смог определить. Если есть догадки, поделитесь.

1.  К слагаемому \cos x применим формулу двойного угла (формула 17 в справочнике). Тогда 1+\cos\frac{x}{2}+\cos x=0 \Leftrightarrow 1+\cos\frac{x}{2}+2\cos^2\frac{x}{2}-1=0\Leftrightarrow 2\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0 \Leftrightarrow \cos\frac{x}{2}\cdot (2\cos\frac{x}{2}+1)=0. Значит, \cos\frac{x}{2}=0 или \cos\frac{x}{2}=-\frac{1}{2}. Откуда x=\pi+2\pi n, n\in Z или x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi k, k\in Z.

2. К слагаемому \cos x применим формулу двойного аргумента (формула 18 в справочнике). Тогда 1-\sin\frac{x}{2}=1-2\sin^2\frac{x}{2} \Leftrightarrow \sin\frac{x}{2}\cdot (2\sin\frac{x}{2}-1)=0. Откуда, \sin\frac{x}{2}=0\Leftrightarrow x=2\pi n, n\in Z или \sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in Z.

3. К слагаемому \cos 4x применим формулу двойного аргумента (формула 17). Уравнение принимает вид 2\sin^2 x+2\cos^2 2x-1=0. Далее к слагаемому \sin^2 x применим формулу понижения степени (формула 25). Тогда 2\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}+2\cos^2 2x-1=0. После проведения подобных слагаемых и разложения на множители левой части уравнения приходим к совокупности уравнений \cos 2x=0 и \cos 2x=\frac{1}{2}. Откуда x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, n \in Z или x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z.

4. К слагаемому \sin 4x применим формулу двойного аргумента (формула 15), а выражение 2\cos^2 x-1 свернем по формуле двойного аргумента для косинуса (формула 17). Тогда 2\sin 2x\cos 2x +\cos 2x=0. Откуда \cos 2x=0 или \sin 2x=-\frac{1}{2}, то есть x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} или x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}, n,k \in Z.

И последняя задача в этом посте.

5. Заменим ctg x на \frac{\cos x}{\sin x} и приведем левую часть к общему знаменателю. Получим уравнение 5\sin^2 x-4\cos x=0, при этом не забудем, что \sin x\ne 0, иначе котангенс не существует. Далее с помощью основного тригонометрического тождества (формула 1 в справочнике) от \sin^2 x переходим к 1-\cos^2 x и после замены \cos x = t приходим к квадратному уравнению 5t^2+4t-5=0, корнями которого являются числа \frac{-2\pm\sqrt{29}}{5}. Так как значения косинуса по модулю не могут быть более единицы, то уравнение \cos x=\frac{-2-\sqrt{29}}{5} корней не имеет. Во втором уравнении x=\pm\arccos\frac{\sqrt{29}-2}{5}+2n\pi, n\in Z.

Ссылки на следующие посты с решениями будут появляться здесь. Спасибо за внимание.

 

Комментариев 3 к “Ткачук. Сведение к квадратным уравнениям. Решение домашнего задания урока 1. Задачи 1-5

  1. Насчет дз - закономерности в приниципе и не должно быть никакой. Все подряд, чтобы не привыкатть к метоадам

Комментарии закрыты