Условия задач олимпиады по математике МФТИ 2016

11 класс

Билет 9

1. Решите неравенство $\log_{(x^2-2)/(2x-3)}\displaystyle\frac{(x^2-2)(2x-3)}{4}\ge1$
2. Решите уравнение $(\cos x-3\cos4x)^2=16+\sin^23x$
3. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} x+\sqrt{x+2y}-2y=7/2,\\ x^2+x+2y-4y^2=27/2 \end{array}\right.$
4. Точки A, B, C, D, E последовательно расположены на прямой, причем AB=BC=2, CD=1, DE=3. Окружности $\Omega$ и $\omega$, касающиеся друг друга, таковы, что $\Omega$ проходит через точки A и E, а $\omega$ проходит через точки B и C. Найдите радиусы окружностей $\Omega$ и $\omega$, если известно, что их центры и точка D лежат на одной прямой.
5. В числе 2*0*1*6*0*2 нужно заменить каждую из 6 звёздочек на любую из цифр 8,7,6,5,4,3,2,1,0 (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное 12-значное число делилось на 45. Сколькими способами это можно сделать?
6. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\left\{\begin{array}{l l} (|y+9|+|x+2|-2)(x^2+y^2-3)=0,\\ (x+2)^2+(y+4)^2=a\end{array}\right.$ имеет ровно три решения.
7. Дана правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁ с основанием ABCD. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны B₁D и проходят через вершины A и D1 соответственно. Пусть F и H соответственно - точки пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с диагональю B₁D, при этом DF < DH. а) Найдите отношение B₁H:DF. б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 3 касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите отрезок B₁D и объем призмы ABCDA₁B₁C₁D₁.

Варианты вступительных экзаменов