А. Шень "Цели школьного курса геометрии"
Школьная геометрия вообще вещь довольно странная. Традиционно евклидова геометрия служила для философов образцом строгости, но невозможно строго и понятно изложить доказательства признаков равенства треугольников. Элементарную геометрию преподают по всему миру уже несколько тысяч лет, но трудно сказать, кому уж так важно знать, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Знаменитый французский математик Жан Дьёдонне с большим жаром и остроумием пишет в предисловии к своей книге «Линейная алгебра и элементарная геометрия» (М.: Наука, 1972, русский перевод): «В элементарной геометрии [в результате развития линейной алгебры] открылся королевский путь: отправляясь от очень простых аксиом можно при помощи тривиальных вычислений непосредственно и в несколько строчек получить всё то, для чего раньше нужно было возводить леса искусственных и сложных систем треугольников, чтобы во что бы то ни стало свести задачу к священным случаям равенства или подобия треугольников, к единственной основе всей традиционной техники Евклида».
В других местах того же предисловия: «Важнее ли для конструктора знать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, или же овладеть принципами теории сопротивления материалов? Конечно, тригонометрические формулы совершенно необходимы для представителей трёх очень почтенных профессий: (1) для астрономов; (2) для геодезистов; (3) для составителей учебников тригонометрии». А также: «Следствием развития математики является то, что результаты, которые первооткрыватели получают после трудных рассуждений, зачастую через 50-100 лет могут быть выведены на нескольких строчках. Примером является изобретение анализа бесконечно малых. Оно сразу свело решение проблем, над которыми бились изощрённые умы Евдокса и Архимеда, к почти автоматическим вычислениям».
Подобными соображениями руководствовался не только Дьёдонне, и не только во Франции: примерно те же мотивы привели к замене «арифметического решения текстовых задач» и простых дробей в младших классах на «уравнения с иксами» и калькуляторы, а также к введению в школьную программу «элементов математического анализа».
К сожалению, эти реформы (теперь, видимо, это уже всем стало ясно) оказались откровенно неудачными, несмотря на участие в них выдающихся математиков. Скажем, учебник геометрии с участием Колмогорова (как, впрочем, и последующий учебник Погорелова), как показала практика, оказался явно менее удачным, чем старинный учебник Киселёва, не имевшего никаких математических достижений. Как мне кажется, принципиальная ошибка была в следующем: цель курса математики не в сообщении заранее определённого набора сведений логически кратчайшим путём, а в практике решения задач и получения удовольствия от этого. Пробежки в парке на уроках физкультуры вовсе не теряют смысла от того, что вдоль него проложили автобусный маршрут. И как бы ни были ограничены (подготовкой, природными склонностями и пр.) возможности школьника к самостоятельному движению, от замены его поездками в автобусе-экспрессе будет только вред.
смотрите еще И.Ф. Шарыгин "Цели обучения в концепции школьной геометрии"