Варианты вступительных экзаменов в МФТИ 2008 г. по математике

Вариант 1

1. Решите неравенство  $\sqrt{\frac{1}{x^2+2x-3}}\geq\frac{1}{4-x}$.
2. Решите уравнение $\frac{4\cos^2 2x \cos 4x+3\cos 2x+\cos 6x}{\cos 3x}=0$.
3. Найдите действительные решения системы уравнений $\left\{\begin{array}{l l} 2y^2=x^4+x,\\y=\frac{2x}{y}-5x^2\end{array}\right.$
4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 4. Окружность с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков AB, BC и прямой CD в точках M, N и K соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если CK:BM=3:1.
5. Найти все пары действительных чисел $(x;y)$, удовлетворяющие неравенству $\log_{\displaystyle3^x+\displaystyle2^{-x}}(3-\cos 4x+\sin\frac{3y}{2})\leq\log_{\displaystyle|\cos\frac{y}{3}|+\displaystyle|\sin\frac{y}{3}|}(|\sin 3x\cos 2y|)$.
6. На основании ABCD четырехугольной пирамиды SABCD расположена точка O. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках A, B, K, L соответственно. Известно, что AB = KL = $2\sqrt{5}$, AL  = 2, BK = 6, а отрезок SO составляет с плоскостью ABCD угол arccos$\frac{2}{3}$. Найти длины отрезков AK, OS и SD.

Вариант 5

1. Решите неравенство $\log_{\displaystyle\frac{2-x}{1-x}}(4-x)\leq 2$.
2. Решите уравнение $\displaystyle\frac{\sin^3 x\cos 3x+\cos^3 x\sin 3x}{|\sin 2x|}=\frac{3}{4}$.
3. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} x+\displaystyle\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{42}{x+y},\\xy-x=16\end{array}\right.$
4. В треугольнике ABC медиана BM равна 2, угол ABM равен $\arctan \frac{2}{3}$,  угол CBM равен $\arctan\frac{1}{5}$. Найти стороны AB, BC и биссектрису BE треугольника ABC.
5. Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l l} x+y^4-2y^2=\ln x,\\2\arctan x+arcsin y=0\end{array}\right.$
6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера $\omega$ радиуса $\frac{15}{14}$ с центром O касается ребер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K, L, M, N, пересекает ребро AB в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает ее в точке H,  AB:PQ = 4:$\sqrt{7}$, AS:LS=3:2. Найти угол SAB, угол SBH, высоту пирамиды и ее объем.

Ответы:

Вариант 1

1. $x<-3, 1<x\leq\frac{19}{10},x>4$
2. $\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},k\in Z$
3. $(-3^{2/3}/7^{1/3};-3^{1/3}/7^{2/3}),(1/7^{1/3};2/7^{2/3})$
4. $R=\sqrt[4]{3},AB=2/\sqrt[4]{3},AD=4/\sqrt[4]{3}$
5. $x=\frac{\pi}{2}+\pi k, y=\pi+12\pi s$ или $y=5\pi+12\pi s, k\in Z,s\in Z$
6. $AK=4\sqrt{2},OS=7,SD=35^{3/2}/27$

Вариант 5

1. $0\leq x<1,2<x<\frac{5+\sqrt{5}}{2}$
2. $\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2},k \in Z$
3. $(4;5),(-(1+\sqrt{133})/2; (41-8\sqrt{133})/33)$
4. $AB=4/\sqrt{13}, BC=8\sqrt{2}/\sqrt{13},BE=8\sqrt{20+2\sqrt{2}}/(7\sqrt{13})$
5. (1;-1)
6. arccos(4/9), arccos(5/9), h=2, V=64/21